Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中的方格陣表示一個(gè)縱橫交錯(cuò)的街道模型的一部分，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，x軸，y軸的正方向分別表示正東、正北方向，出租車只能沿街道（網(wǎng)格線）行駛，且從一個(gè)路口（格點(diǎn)）到另一個(gè)路口，必須選擇最短路線，稱最短路線的長度為兩個(gè)街區(qū)之間的“出租車距離”．設(shè)圖中每個(gè)小正方形方格的邊長為1個(gè)單位．可以發(fā)現(xiàn)：
從原點(diǎn)O到（2，-1）的“出租車距離”為3，最短路線有3條；
從原點(diǎn)O到（2，2）的“出租車距離”為4，最短路線有6條．
（1）①從原點(diǎn)O到（6，1）的“出租車距離”為

7

．最短路線有

7

條；
②與原點(diǎn)O的“出租車距離”等于30的路口共有

120

個(gè)．
（2）①解釋應(yīng)用：從原點(diǎn)O到坐標(biāo)（n，2）（n為大于2的整數(shù)）的路口A，有多少條最短路線？（請(qǐng)給出適當(dāng)?shù)恼f理或過程）
②解決問題：
從坐標(biāo)為（1，-2）的路口到坐標(biāo)為（3，36）的路口，最短路線有

780

條．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)題目信息，“出租車距離”等于點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)絕對(duì)值的和，進(jìn)行計(jì)算即可求解；
②平面被坐標(biāo)系分4個(gè)區(qū)域，在每一個(gè)區(qū)域內(nèi)與原點(diǎn)0的“出租車距離”等于30的街區(qū)（m，n）滿足 m，n都是正整數(shù)，|m|+|n|=30，對(duì)于m的任意取值，n都有唯一的正整數(shù)和它對(duì)應(yīng)，所以m可取30個(gè)值，n有30個(gè)值和它對(duì)應(yīng)，然后即可求解；
（2）①出租車從原點(diǎn)O到坐標(biāo)（n，2）（n為大于2的整數(shù)）的街區(qū)，需走（n+2）路程，不論橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，沒確定一個(gè)單位的走法，則還剩下（n+2-1）種走法，依此類推，進(jìn)行計(jì)算即可；
②把原點(diǎn)坐標(biāo)平移到（1，-2），則點(diǎn)（3，36）的坐標(biāo)變?yōu)椋?，38），然后根據(jù)①中的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）①6+1=7，7；
②與原點(diǎn)0的“出租車距離”等于30的街區(qū)（m，n）滿足m，n都是正整數(shù)，|m|+|n|=30，
由對(duì)稱性，考慮m＞0，n＞，
m依次取1，2，…30，對(duì)應(yīng)的n為29，28，…，0，共30個(gè)，
∴與原點(diǎn)0的“出租車距離”等于30的街區(qū)共30×4=120個(gè)；

（2）①從原點(diǎn)O到坐標(biāo)（n，2）的“出租車距離”為n+2，
則最短路線的條數(shù)是（n+2-1）+（n+2-2）+（n+2-3）+…+1，
=

(n+1)(n+2)

2

；
②把原點(diǎn)坐標(biāo)平移到（1，-2），則點(diǎn)（3，36）的坐標(biāo)變?yōu)椋?，38），
∴“出租車距離”為2+38=40，
∴

40×39

2

=780．
故答案為：（1）①7，7；②120；（2）①

(n+1)(n+2)

2

；②780．

點(diǎn)評(píng)：本題考查理解題意能力以及看圖能力，關(guān)鍵是明白怎樣是“出租車距離”和路線的走法．