Question

【題目】已知：直線AB與直線PQ交于點E，直線CD與直線PQ交于點F，∠PEB+∠QFD＝180°．

（1）如圖1，求證：AB∥CD；

（2）如圖2，點G為直線PQ上一點，過點G作射線GH∥AB，在∠EFD內過點F作射線FM，∠FGH內過點G作射線GN，∠MFD＝∠NGH，求證：FM∥GN；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點R為射線FM上一點，點S為射線GN上一點，分別連接RG、RS、RE，射線RT平分∠ERS，∠SGR＝∠SRG，TK∥RG，若∠KTR+∠ERF＝108°，∠ERT＝2∠TRF，∠BER＝40°，求∠NGH的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠NGH＝32°．

【解析】

（1）根據鄰補角的性質得∠PFD＋∠QFD＝180，再由同角的補角相等得∠PEB＝∠PFD，最后由平行線的判定得結論；

（2）先證GH∥CD，得∠EFD＝∠FGH，再證∠EFM＝∠FGN，便可得結論；

（3）先證明∠TRF＝∠SRF，設∠SRG＝x，由∠KTR＋∠ERF＝108，列出x的方程，求得x，便可得∠ERS，過R作RI∥AB，過點S作SL∥AB，則AB∥IR∥SL∥GH，通過平行線的性質，求得∠RSL，再由三角形外角定理得∠RSN，最后便可求得結果．

（1）∵∠PEB+∠QFD＝180，

又∵∠PFD+∠QFD＝180，

∴∠PEB＝∠PFD，

∴AB∥CD；

（2）∵GH∥AB，AB∥CD

∴GH∥CD，

∴∠EFD＝∠FGH，

∵∠MFD＝∠NGH，

∴∠EFM＝∠FGN，

∴FM∥GN；

（3）∵FM∥GN，

∴∠FRG＝∠SGR，

∵∠SGR＝∠SRG，

∴∠FRG＝∠SRG，

∵射線RT平分∠ERS，

∴∠ERT＝∠TRS，

∵∠ERT＝2∠TRF，

∴∠TRS＝2∠TRF，

∴∠TRF＝∠SRF，

設∠SRG＝∠FRG＝x，則∠TRF＝2x，∠ERT＝∠SRT＝4x，

∵TK∥RG，

∴∠KTR＝∠TRG＝2x+x＝3x，

∵∠KTR+∠ERF＝108，

∴3x+4x+2x＝108，

∴x＝12，

∴∠ERS＝8x＝96，

過R作RI∥AB，過點S作SL∥AB，則AB∥IR∥SL∥GH，

∴∠BER＝∠ERI，∠IRS＝∠RSL，∠NGH＝∠NSL，

∵∠BER＝40，

∴∠ERI＝40，

∴∠RSL＝∠IRS＝∠ERS﹣∠ERI＝96﹣40＝56，

∵∠RSN＝∠SRG+∠SGR＝24，

∴∠NGH＝∠NSL＝∠RSL﹣∠RSN＝56﹣24＝32．