Question

如圖，已知直線l₁的解析式為y=3x+6，直線l₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，直線l₂經過B、C兩點，點C的坐標為（8，0），又已知點P在x軸上從點A向點C移動，點Q在直線l₂從點C向點B移動．點P、Q同時出發，且移動的速度都為每秒1個單位長度，設移動時間為t秒（1＜t＜10）．
（1）求直線l₂的解析式；
（2）設△PCQ的面積為S，請求出S關于t的函數關系式；
（3）對于（2）中的△PCQ的面積S是否存在最大值？若不存在，請說明理由；若存在，求出當t為何值時，S有最大值，最大值是多少？
（4）試探究：當t 為何值時，△PCQ為等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為l₁過點B，所以代入直線l₁的解析式求得點B的坐標，又因為直線l₂經過B，C兩點，所以將點B、C的坐標代入直線y=kx+b，列方程組即可求得；
（2）過點P作PD⊥l₂于D，利用△PDC∽△BOC得到比例式即可求得S與t的取值范圍．
（3）要想使△PCQ為等腰三角形，需滿足CP=CQ，或QC=QP，或PC=PQ．
解答：解：（1）由題意知：B（0，6）C（8，0）．
設直線l₂的解析式為y=kx+b，則

解得k=，b=6．
故直線l₂的解析式為y=x+6．

（2）解法一 如圖1，過點P作PD⊥l₂于D，則△PDC∽△BOC．
∴．
由題意知：OA=2，OB=6，OC=8．
∴BC=，PC=10-t．
∴．
∴PD=（10-t）．
又∵CQ=t，
∴S=•t•（10-t）=-t²+3t，（1＜t＜10）．
解法二 如圖2，過點Q作QD⊥PC于D，則
△QDC∽△BOC．
∴BC=，QC=t．
∴．
∴QD=t
又∵PC=10-t，
∴S=•t•（10-t）=-t²+3t，（1＜t＜10）．
（3）由S=-t²+3t=-（t-5）²+，
∵-＜0，1＜t＜10，
∴當t=5時，S有最大值為．
（4）i）由圖2，若QP=QC，則PD=DC，
由，，
∴t=；  
ii）若CP=CQ，則t=10-t，
∴t=5； 
iii）若PC=PQ，過點P作PM⊥l₂于M，由△CPM∽△CBO．且CM=，
由，，
∴t=．
點評：此題考查了一次函數與三角形的綜合知識，要注意待定系數法的應用，要注意數形結合思想的應用．