Question

某學校七年級數學興趣小組組織一次數學活動．在一座有三道環形路的數字迷宮的每個進口處都標記著一個數，要求進入者把自己當做數“1”，進入時必須乘進口處的數，并將結果帶到下一個進口，依次累乘下去，在通過最后一個進口時，只有乘積是5的倍數，才可以進入迷宮中心，現讓一名5歲小朋友小軍從最外環任一個進口進入．
（1）小軍能進入迷宮中心的概率是多少？請畫出樹狀圖進行說明；
（2）小組兩位組員小張和小李商量做一個小游戲，以猜測小軍進迷宮的結果比勝負．游戲規則規完：小軍如果能進入迷宮中心，小張和小李各得1分；小軍如果不能進入迷宮中心，則他在最后一個進口處所得乘積是奇數時，小張得3分，所得乘積是偶數時，小李得3分，你認為這個游戲公平嗎？如果公平，請說明理由；如果不公平，請在第二道環進口處的兩個數中改變其中一個數使游戲公平．
（3）在（2）的游戲規則下，讓小軍從最外環進口任意進入10次，最終小張和小李的總得分之和不超過28分，請問小軍至少幾次進入迷宮中心？

Answer 1

【答案】分析：游戲是否公平，關鍵要看是否游戲雙方贏的機會是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數目是否相等．
解答：解：（1）樹狀圖，

P_{（進入迷宮中心）}=；（3分）

（2）不公平，理由如下：
法一：由樹狀圖可知，P_{（5的倍數）}=，P_{（非5的倍數的奇數）}==，
P_{（非5的倍數的偶數）}=．所以不公平．
法二：從（1）中樹狀圖得知，不是5的倍數時，
結果是奇數的有2種情況，而結果是偶數的有6種情況，顯然小李勝面大，所以不公平．
法三：由于積是5的倍數時兩人得分相同，所以可直接比較積不是5的倍數時，奇數、偶數的概率．
P_（奇數）=，P_（偶數）=，所以不公平．（6分）
可將第二道環上的數4改為任-奇數；（7分）

（3）設小軍x次進入迷宮中心，則2x+3（10-x）≤28
解之得x≥2．
所以小軍至少2次進入迷宮中心．
點評：本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．