Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點B在點A的右側），與y軸的正半軸交于點C，頂點為D．若以BD為直徑的⊙M經過點C．

（1）請直接寫出C，D的坐標（用含a的代數式表示）；
（2）求拋物線的函數表達式；
（3）⊙M上是否存在點E，使得∠EDB=∠CBD？若存在，請求出所滿足的條件的E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當x=0時，ax2﹣2ax﹣3a﹣3a，則點C的坐標為（0，﹣3a）；

∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，

∴點D的坐標為（1，﹣4a）

（2）

解：當y=0時，ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3，則A（﹣1，0），B（3，0），

∵BD為⊙M的直徑，

∴∠BCD=90°，

而BC2=（0﹣3）2+（﹣3a﹣0）2=9a2+9，CD2=（0﹣1）2+（﹣3a+4a）2=a2+1，BD2=（3﹣1）2+（0+4a）2=16a2+4，

在Rt△BCD中，∵BC2+CD2=BD2，

∴9a2+9+a2+1=16a2+4，

整理得a2=1，解得a1=﹣1，a2=1（舍去）；

∴拋物線解析式為：y=﹣x2+2x+3

（3）

解：存在．

a=1，CD2=a2+1=2，BC2=9a2+9=18，

∵∠EDB=∠CBD，

∴CD=BE，

而BD為直徑，

∴∠BED=90°，

∴Rt△BED≌Rt△DCB，

∴DE=BC，

設E（x，y），

∴ED2=（x﹣1）2+（y﹣4）2，BE2=（x﹣3）2+y2，

∴（x﹣1）2+（y﹣4）2=18，（x﹣3）2+y2=2，

解得x=4，y=1或x= ，y=﹣ ，

∴滿足條件的E點坐標為（4，1）、（ ，﹣ ）．

【解析】（1）計算橫坐標為0的函數值即可得到C點坐標，然后將解析式配成頂點式即可得出點D的坐標；（2）先利用二次函數與x軸的交點問題確定A點和B點坐標，再根據圓周角定理得到∠BCD=90°，則根據兩點間的距離公式得BC2=9a2+9，CD2=a2+1，BD2=16a2+4，接著利用勾股定理得到9a2+9+a2+1=16a2+4，然后解方程求出a即可得到二次函數解析式；（3）先計算出CD2=2，BC2=18，再根據圓周角定理，由∠EDB=∠CBD得弧CD=弧BE，則CD=BE，接著證明Rt△BED≌Rt△DCB，得到DE=BC，設E（x，y），根據兩點間的距離公式得（x﹣1）2+（y﹣4）2=18，（x﹣3）2+y2=2，然后解方程組得x=4，y=1或x= ，y=﹣ ，從而可得滿足條件的E點坐標．