Question

【題目】如圖，在⊙O中，OE垂直于弦AB，垂足為點D，交⊙O于點C，∠EAC=∠CAB．

（1）求證：直線AE是⊙O的切線；
（2）若AB=8，sin∠E= ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA，

∵OE垂直于弦AB，

∴∠OCA+∠CAD=90°，

∵CO=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∵∠EAC=∠CAB，

∴∠EAC+∠OAC=90°，

∴OA⊥AE，

即直線AE是⊙O的切線．

（2）解：作CF⊥AE于F，

∵∠EAC=∠CAB，

∴CF=CD，

∵AB=8，

∴AD=4，

∵sin∠E= ，

∴ ， = ，

∴AE= ，DE= ，

∴CF=2，

∴CD=2，

設⊙O的半徑r，

在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，

解得r=5．

∴⊙O的半徑為5．

【解析】（1）要證直線AE是⊙O的切線，添加輔助線連接OA，先證明∠OCA+∠CAD=90°，再證明∠EAC+∠OAC=90°，即可得出答案。
（2）作CF⊥AE于F，根據角平分線的性質和三角函數的知識求出AE、DE的長，從而得出CD、CF的長，然后在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求得圓的半徑。
【考點精析】認真審題，首先需要了解角平分線的性質定理(定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上)，還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關知識才是答題的關鍵．