Question

已知拋物線y₁=（x-5）（x-a）與x軸交于定點A和另一點C．
（1）求定點A的坐標．
（2）以坐標原點為圓心，半徑為的圓交拋物線y₁=（x-5）（x-a）于點B，當直線AB與圓相切時，求y₁的解析式．
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點P（P在點A的右上方），使△PAC、△PBC的面積相等？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）y=0，則（x-5）（x-a）=0，
解得x₁=5，x₂=a，
所以，定點A的坐標為（5，0）；

（2）連接OB，過點B作BD⊥OA于D，
∵直線AB與圓相切，
∴OB⊥AB，
∵OA=5，OB=，
∴AB===2，
∵∠AOB=∠BOD，∠ABO=∠BDO=90°，
∴△ABO∽△BDO，
∴==，
即==，
解得BD=2，OD=1，
∴點B的坐標為（1，-2），
∵拋物線y₁=（x-5）（x-a）過點B，
∴（1-5）（1-a）=-2，
∴a=，
∴y₁=（x-5）（x-）；

（3）存在點P（，）．
理由如下：設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b是常數），
則，
解得，
所以，直線AB的解析式為y=x-，
∵點C的坐標為（，0），
∴設過點C與AB平行的直線CP的解析式為y=x+c，
則×+c=0，
解得c=-，
所以，CP的解析式為y=x-，
∵CP∥AB，
∴點A、B到CP的距離相等，
∴△PAC、△PBC的面積相等，
此時，聯立，
解得（為點C，舍去），，
∴點P的坐標為（，）．
分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到頂點A的坐標；
（2）連接OB，過點B作BD⊥OA于D，根據切線的定義可得OB⊥AB，利用勾股定理列式求出AB的長，再根據相似三角形對應邊成比例列式求出BD、OD的長，從而得到點B的坐標，然后把點B的坐標代入拋物線解析式計算求出a的值即可得解；
（3）利用待定系數法求出直線AB的解析式，再根據等底等高的三角形的面積相等，平行線間的距離相等，過點C作AB的平行線，與拋物線的交點即為所求的點P，然后聯立拋物線與直線的解析式求解即可．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了二次函數與x軸的交點問題，勾股定理的應用，直線與圓相切，相似三角形的判定與性質，等底等高的三角形的面積相等，平行線間的距離相等的性質，（3）是本題的難點，考慮利用CP∥AB求解是解題的關鍵．