Question

25、已知：OA、OB是⊙O的半徑，且OA⊥OB，P是射線OA上一點（點A除外），直線BP交⊙O于點Q，
（1）如圖①，若點P在線段OA上，PE=EQ，求證：QE是⊙O的切線；
（2）如圖①，若點P在線段OA上，過Q作⊙O的切線交直線OA與點E．
①求證：∠OBP+∠AQE=45°；
②若點P在線段OA的延長線上，其它條件不變，∠OBP與∠AQE之間是否存在某種確定的等量關系？請你完成圖②，并寫出結論（不需要證明）．過Q作⊙O的切線交直線OA于點E．

Answer 1

分析：（1）可連OQ，要證QE是⊙O的切線，通過∠OBP與∠OQP的轉化，證明OQ⊥QE即可，
（2）①連接AB，則△AOB是等腰直角三角形，∠OBA=45°，由弦切角定理得，∠AQE=∠QBA，所以可求得∠OBP+∠AQE=∠OBP+∠ABP=∠OBA=45°；
②連接AB，則△AOB是等腰直角三角形，∠OBA=45°；由弦切角定理得∠AQE=∠QBA，即可求得∠OBP-∠AQE=∠OBP-∠ABP=∠OBA=45度．

解答：證明：（1）證明：連接OQ；
∵BO⊥OE，
∴∠BOE=90°，
∴∠OBP+∠BPO=90°；
∵PE=EQ，
∴∠EPQ=∠EQP，
∵∠EPQ=∠BPO，
∴∠EQP=∠BPO，
又∵∠OBP=∠OQP，
∴∠EQP+∠OQP=90°，
即∠OQE=90°，
∴EQ是⊙O的切線．

（2）①證明：（1）連接AB，
∵OB=OA，OB⊥OA
∴△AOB是等腰直角三角形，∠OBA=45°
∵EQ是切線
∴∠AQE=∠QBA
∴∠OBP+∠AQE=∠OBP+∠ABP=∠OBA=45°；

解：②如圖，連接AB
∵OB=OA，OB⊥OA
∴△AOB是等腰直角三角形，∠OBA=45°
∵EQ是切線
∴∠AQE=∠QBA
∴∠OBP-∠AQE=∠OBP-∠ABP=∠OBA=45°．

點評：此題主要考查了切線的判定與性質和等腰三角形的性質，根據求證的結論，使用分析推敲證明過程中所需要的條件，進而分析添加輔助線的方法，是平面幾何證明必須掌握的技能，大家一定要熟練掌握，而在（2）中根據已知條件分析轉化的方向也是解題的主要思想．解決就是尋找解題的思路，由已知出發，找尋轉化方向和從結論出發尋找轉化方向要結合在一起使用．