Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點M是半徑OA的中點，點P在線段AM上運動（不與點M重合）．點Q在上半圓上運動，且總保持PQ=PO，過點Q作⊙O的切線交BA的延長線于點C．
（1）當∠QPA=90°時，判斷△QCP是______三角形；
（2）當∠QPA=60°時，請你對△QCP的形狀做出猜想，并給予證明；
（3）由（1）、（2）得出的結論，進一步猜想，當點P在線段AM上運動到任何位置時，△QCP一定是______三角形．

Answer 1

解：（1）等腰直角三角形；

（2）當∠QPA=60°，△QCP是等邊三角形．
證明：連接OQ．
CQ是⊙O的切線，
∴∠OQC=90°．
∵PQ=PO，
∴∠PQO=∠QOP．
∴∠QOP+∠QCO=90°，∠OQP+∠CQP=90°，
∴∠QCO=∠CQP．
∴PQ=PC．
又∠QPA=60°，
∴△QCP是等邊三角形；

（3）等腰三角形．
分析：（1）當∠QPA=90°時，由于∠QPO=∠QPA=90°，PQ=PO，則△OPQ是等腰直角三角形，∴∠QOA=45°．又由于OQ⊥CQ，所以∠C=45°，即△PQC是等腰直角三角形；
（2）由等邊對等角和三角形的外角與內角的關系知，∠C=90°-∠QOC=90°-30°=60°，故△QCP是等邊三角形；
（3）由于一直存在∠PQC=90°-∠OQP，∠C=90°-∠QOC，而∠QOC=∠OQP，∴∠C=∠PQC．故△QCP一定是等腰三角形．
點評：本題利用了切線的性質，等邊對等角，等腰直角三角形和等邊三角形，等腰三角形的判定和性質求解．