Question

已知：二次函數的表達式為y=2x²+4x-1．
（1）設這個函數圖象的頂點坐標為P，與y軸的交點為A，求P、A兩點的坐標；
（2）將二次函數的圖象向上平移1個單位，設平移后的圖象與x軸的交點為B、C（其中點B在點C的左側），求B、C兩點的坐標及tan∠APB的值．

Answer 1

分析：（1）利用配方法將原函數解析式變為y=2（x+1）²-3，則可求得這個函數圖象的頂點坐標P，又由x=0時，y=-1，求得點A的坐標；
（2）首先求得平移后的二次函數的解析式，則可求得B、C的坐標，然后求得AB，AP，PB的長，則可得∠PAB=90°，則問題得解．

解答：解：（1）y=2x²+4x-1=2（x²+2x）-1=2（x+1）²-3，
∴頂點P的坐標為：P（-1，-3），
當x=0時，y=-1，
∴與y軸的交點坐標為：A（0，-1）；

（2）平移后的解析式為：y=2x²+4x．
令y=0，得2x²+4x=0，
∴x₁=0，x₂=-2．
∴平移后的圖象與x軸的交點坐標為：B（-2，0），C（0，0）；
由A（0，-1），B（-2，0），P（-1，-3），
可得：AB=

22+12

=

5

，AP=

22+12

=

5

，PB=

12+32

=

10

．
∴AB²+AP²=PB²．
∴∠PAB=90°．
∴tan∠APB=

AB

PA

=

5

5

=1．

點評：此題考查了二次函數一般式與頂點式的轉化，勾股定理的應用以及二次函數與一元二次方程的關系等知識．此題難度適中，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．