Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接BE．

（1）求證：BE與⊙O相切；

（2）設OE交⊙O于點F，若DF=1，BC=2，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S陰影=4﹣π．

【解析】試題分析：（1）連接OC，如圖，利用切線的性質得∠OCE=90°，再根據垂徑定理得到CD=BD，則OD垂中平分BC，所以EC=EB，接著證明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）設⊙O的半徑為r，則OD=r﹣1，利用勾股定理得到（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，再利用三角函數得到∠BOD=60°，則∠BOC=2∠BOD=120°，接著計算出BE=OB=2，

然后根據三角形面積公式和扇形的面積公式，利用陰影部分的面積=2S△OBE﹣S扇形BOC進行計算即可．

試題解析：（1）證明：連接OC，如圖，

∵CE為切線，

∴OC⊥CE，

∴∠OCE=90°，

∵OD⊥BC，

∴CD=BD，

即OD垂中平分BC，

∴EC=EB，

在△OCE和△OBE中

，

∴△OCE≌△OBE，

∴∠OBE=∠OCE=90°，

∴OB⊥BE，

∴BE與⊙O相切；

（2）解：設⊙O的半徑為r，則OD=r﹣1，

在Rt△OBD中，BD=CD=BC=，

∴（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，

∵tan∠BOD==，

∴∠BOD=60°，

∴∠BOC=2∠BOD=120°，

在Rt△OBE中，BE=OB=2，

∴陰影部分的面積=S四邊形OBEC﹣S扇形BOC

=2S△OBE﹣S扇形BOC

=2××2×2﹣

=4﹣π．