Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0,2）。

（1）若點（-，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關系式；

（2）若點A為拋物線頂點，且拋物線過點（1,1）。

①求拋物線的解析式；

②若點M是拋物線上異于點A的一個動點，點P與點O關于點A對稱，直線MP交拋物線與另一個點N，點N’是拋物線上點N關于對稱軸的對稱點，直線PN’與拋物線交于點E，求證：直線EN恒過點O。

Answer 1

【答案】（1）3a-b=-2；（2）①y=-+2，②見解析

【解析】

（1）由拋物線經過點A可求出c=2，再代入（-，0）即可找出3a-b=-2（a≠0）；

（2）由A點為拋物線的頂點，可設y=ax2+2，把（1，1）代入求出a的值即可；

（3）設M點的坐標為（m，m2+2）求出直線PM的解析式，與拋物線方程聯立，求出N點坐標，根據M點與E點關于y軸對稱求出E點坐標，從而求出直線EN的解析式，判斷當x=0時，y=0即可.

（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2），

∴c=2．

又∵點（-，0）也在該拋物線上，

∴a（-）2+b（-）+c=0，

∴3a-b+2=0（a≠0）．

即3a-b=-2；

（2）∵點A（0，2）是拋物線的頂點坐標，

∴設，

∵函數的圖象經過（1，1）

∴1=a+2，解得，a=-1，

∴拋物線的解析式為：

（3）設M點的坐標為（m，-m2+2）(m＜0），

設直線PM的解析式為：

∵點P與點O關于點A對稱，A（0，2），

∴P（0，4），

∴，

解得，，

∴直線PM的解析式為：，

聯立方程組得，

解得，，，

∴N（，）.

∵M點與E點關于y軸對稱,

∴E(-m，-m2+2)

設直線NE的解析式為：，

將N點、E點坐標代入得，，解得，

∴直線EN的解析式為：

∴當x=0時，y=0，

∴直線EN恒過點O.