Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，P為AB上一點，且點P不與點A重合，過點P作PE⊥AB交AC邊于E點，點E不與點C重合，若AB=10，AC=8，設AP的長為x，四邊形PECB的周長為y，求y與x之間的函數關系式．

Answer 1

分析：四邊形PECB的周長為PE+EC+CB+BP，其中BC在直角△ABC中運用勾股定理可以求出，BP=AB-AP=10-x，另外兩條邊均可根據△AEP∽△ABC，借助于比例線段，用含有x的式子表示出來．關鍵還需求出自變量x的取值范圍，這可以令E點運行到C時，求特殊值．

解答：解：∵在△ABC中，∠C=90°AB=10，AC=8，
∴BC=6．
∵EP⊥AB且∠A為公共角，
∴△AEP∽△ABC，
∴

AE

AB

=

AP

AC

=

EP

BC

．
∵AP=x，
∴

AE

10

=

x

8

=

PE

6

，
即AE=

5

4

x，PE=

3

4

x，
∴EC=8-

5

4

x，BP=10-x．
∴y=PE+EC+CB+BP=-

3

2

x+24．
當E與C重合時，CP⊥AB，
∴△APC∽△ACB，
∴CA²=AP•AB，
∴8²=10AP，
AP=

32

5

．
因為P與A不重合，E與C不重合，
所以0＜x＜

32

5

．
即y=-

3

2

x+24(0＜x＜

32

5

)．

點評：本題實際還是考查相似三角形的判定以及一次函數在幾何圖形中的應用．