Question

(本題滿分9分)
如圖11，已知拋物線與x 軸交于兩點A、B，其頂點為C．

(1)對于任意實數m，點M（m，-2）是否在該拋物線上?請說明理由；
(2)求證:△ABC是等腰直角三角形；
(3)已知點D在x軸上，那么在拋物線上是否存在點P，使得以B、C、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）假如點M（m，-2）在該拋物線上，則-2=m²-4m+3,
m²-4m+5=0,由于△=（-4）²-4×1×5=-4＜0，此方程無實數解，
所以點M（m，-2）不會在該拋物線上；
（2）當y=0時，x²-4x+3=0,x₁=1,x₂=3,由于點A在點B左側，∴A(1,0),B(3,0)
y= x²-4x+3=(x-2)²-1,∴頂點C的坐標是（2，-1），
由勾股定理得，AC=,BC=,AB=2，
∵AC²+BC²=AB², ∴△ABC是等腰直角三角形；
(3)存在這樣的點P.
根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，因此連接點P與點C的線段應被x軸平分，
∴點P的縱坐標是1，
∵點P在拋物線y= x²-4x+3上，∴當y=1時，即x²-4x+3=1，解得x₁=2-,x₂=2+,
∴點P的坐標是（2-，1）或（2+，1）.解析:
略