Question

【題目】已知，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P．
（1）如圖①，若∠COB=2∠PCB，求證：直線PC是⊙O的切線；
（2）如圖②，若點M是AB的中點，CM交AB于點N，MNMC=36，求BM的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO．

∴∠COB=2∠ACO．

又∵∠COB=2∠PCB，

∴∠ACO=∠PCB．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACO+∠OCB=90°．

∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP．

∵OC是⊙O的半徑，

∴PC是⊙O的切線

（2）解：連接MA、MB．（如圖）

∵點M是弧AB的中點，

∴ ，

∴∠ACM=∠BAM．

∵∠AMC=∠AMN，

∴△AMC∽△NMA．

∴ ．

∴AM2=MCMN．

∵MCMN=36，

∴AM=6，

∴BM=AM=6．

【解析】（1）利用半徑OA=OC可得∠COB=2∠A，然后利用∠COB=2∠PCB即可證得結論，再根據圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切線；（2）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BAM，進而可得△AMC∽△NMA，故AM2=MCMN；等量代換可得MNMC=BM2=AM2 ， 代入數據即可得到結論．
【考點精析】通過靈活運用圓周角定理和切線的判定定理，掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題．