Question

【題目】如圖，在△ADC中，AD＝2，CD＝4，∠ADC是一個不固定的角，以AC為邊向△ADC的另一側作等邊三角形ABC，連接BD，則BD的長是否存在最大值？若存在，請求出其最大值；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】BD存在最大值，最大值是6．

【解析】

以AD為邊做作等邊三角形ADE,連接CE，根據等邊三角形的性質和全等三角形的判定證明△ABD≌△ACE，再利用全等三角形的性質以及兩點之間線段最短，即可證得結論．

證明：BD存在最大值；

如圖，以AD為邊做作等邊三角形ADE,連接CE，

∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，

∴AB=AC，AD=AE=DE=2，∠BAC=∠EAD=60°,

∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠EAC=∠EAD+∠DAC

∴∠BAD=∠EAC，且AB=AC，AD=AE

∴△ABD≌△ACE

∴BD=CE

若點E,點D,點C不在一條直線上，則EC<ED+DC;

若點E,點D,點C在一條直線上，則EC=ED+DC．

∴EC≤ED+CD=2+4=6

∴BD≤6,

∴BD存在最大值，最大值是6．