Question

【題目】圖（1）是我們常見的“箭頭圖”，其中隱藏著哪些數學知識呢？下面請你解決以下問題：

（1）觀察如圖（1）“箭頭圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間大小的關系，并說明理由；

（2）請你直接利用以上結論，回答下列兩個問題：

①如圖（2），把一塊三角板XYZ放置在△ABC上，使其兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C．若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX=　 　；

②如圖（3），∠ABD，∠ACD的五等分線分別相交于點G1、G2、G3、G4，若∠BDC=135°，∠BG1C=67°，求∠A的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C（2）①40°②50°

【解析】試題分析：（1）連接AD并延長，根據三角形的外角和內角關系解答；

（2）①利用（1）的結論，直接計算出∠ABX+∠ACX的度數；

②圖（3）利用（1）的結論，根據∠BDC=135°，∠BG1C=67°，計算出相等的角：∠DBG4+∠DCG4的和，再次利用（1）的結論，求出∠A的度數.

試題解析：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由：

連接AD并延長到M．

因為∠BDM=∠BAD+∠B，∠CDM=∠CAD+∠C，

所以∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，

即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．

（2）①由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，

由于∠BXC=90°，∠A=50°

所以∠ABX+∠ACX

=∠BXC﹣∠A

=90°﹣50°

=40°．

②在箭頭圖G1BDC中

因為∠BDC=∠G1+∠G1BD+∠G1CD，

又∵∠BDC=135°，∠BG1C=67°

∵∠ABD，∠ACD的五等分線分別相交于點G1、G2、G3、G4

∴4（∠DBG4+∠DCG4）=135°﹣67°

∴∠DBG4+∠DCG4=17°．

∴∠ABG1+∠ACG1=17°

∵在箭頭圖G1BAC中

∵∠BG1C=∠A+∠G1BA+∠G1CA，

又∵∠BG1C=67°，

∴∠A=50°．

答：∠A的度數是50°．