Question

（2012•鼓樓區一模）如圖，菱形ABCD的邊長為30cm，∠A=120°．點P沿折線A-B-C-D運動，速度為1cm/s；點Q沿折線A-D-C-B運動，速度為1.5cm/s．當一點到達終點時，另一點也隨即停止運動．若點P、Q同時從點A出發，運動時間為t s．
（1）設△APQ面積為s cm²，求s與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）當△APQ為等腰三角形時，直接寫出t的值．

Answer 1

分析：（1）作菱形ABCD的高線AH；利用菱形的性質、特殊角的三角函數值求得AH=15

3

；需要對點P、Q的位置進行分類討論：①當點P、Q分別位于AB、AD邊上時；②當點P、Q分別位于AB、CD邊上時；③當點P、Q分別位于BC、CD邊上時；④當點P、Q都在BC邊上時（BP＜BQ）；⑤當點P、Q都在BC邊上時（BP＞BQ）；
（2）要解答本題，要分情況進行討論．①當P點在AB上，Q點在CD上，AP=AQ時，求此時t的值；②當P點在BC上，Q點在CD上，AP=AQ時，求此時t的值；③當P點在BC上，Q點在BC上，AP=AQ時，求此時的t的值．

解答：解：（1）作AH⊥CD于點H，
∵菱形ABCD的邊長為30cm，∠A=120°，
∴∠D=60°，
∴∠HAD=30°，HD=

1

2

AD=15cm，
∴AH=15

3

cm，
即菱形ABCD的高為15

3

cm，
分五種情況：
①如圖1，延長BA過點Q做QN⊥BA于點N，
∵點P沿折線A-B-C-D運動，速度為1cm/s；點Q沿折線A-D-C-B運動，速度為1.5cm/s．
∴當0≤t≤20時，AQ=1.5t，∠NAQ=60°，
∴QN=

3 3

4

t，
∴s=

1

2

PA•QN=

1

2

t•

3 3

4

t=

3 3

8

t ²．

②如圖2，當20＜t≤30時，
s=

1

2

t•15

3

=

15 3

2

t． 

③如圖3，當30＜t≤40時，
s=-

3

8

3

t ²+

75 3

4

t．

④如圖4，當40＜t≤48時，
s=-

75

4

3

t+900

3

． 

⑤如圖5，當48＜t≤60時，
s=

75

4

3

t-900

3

．

（2）當P點在AB上，Q點在CD上，AP=AQ時，t=54-6

21

；
當P點在BC上，Q點在CD上，AP=AQ時，t=36；
當P點在BC上，Q點在BC上，AP=AQ時，t=60．

點評：此題主要考查了菱形的性質，三角形的面積計算和一次函數和二次函數的問題，等腰三角形的性質，銳角三角函數的定義等知識，分類思想同學們應熟練掌握并應用．