Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的圓分別交AB和BC于E、D兩點，AD與EC交于G點．過點D作DF⊥AB交AB于F，交AC的延長線于H．
（1）求證：FH為⊙O的切線；
（2）若AC=6，BC=4，求DG．

Answer 1

（1）連接OD，
∵AC為直徑，
∴∠ADC=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OC，
∴OD∥AB，
∵HF⊥AF，
∴OD⊥FH，
∴FH為⊙O切線；

（2）∵AC=6，BC=4，
∴CD=

1

2

BC=2，
∵∠ADC=90°，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴

ED

=

CD

，
∴∠GCD=∠CAD，
∴△CGD∽△ACD，
∴

GD

CD

=

CD

AD

，
∴CD²=GD•AD，
在Rt△ADC中，AD=

AC2-CD2

=

32

=4

2

，
∴4=GD•4

2

，
∴GD=

2

2

．