Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中A(a，0)，B(b，0)，D(0，d)，以AB，AD為鄰邊做平行四邊形ABCD，其中a，b，d滿足．

（1）求出C的坐標，及平行四邊形ABCD的面積；

（2）如圖2，線段BC的中垂線交y軸與點E，F為AD的中點，試判斷∠EFB的大小，并說明理由；

（3）如圖3，過點C作CG⊥x軸與點G，K為線段DG上的一點，KH⊥CK交OG延長線與點H，且∠DKC=3∠KHG，請求出的值．

Answer 1

【答案】（1）C(4，4)，S四邊形ABCD=16；（2）∠EFB=90°，理由見解析；（3）．

【解析】

（1）過C作CE⊥x軸于E點，根據平方、二次根式和絕對值的非負性，可求得a，b，d的值，可得A、B、D點坐標，再證明△CBE≌△DAO，可求得點C坐標，即可求得四邊形ABCD面積．

（2）連接BE，OF，過F作FG⊥x軸于G，FK⊥y軸于K．已知線段BC的中垂線交y軸與點E，即CE=BE．F為AD的中點，則F(﹣,2)，通過DE2+DC2=EC2=EB2=EO2+OB2，可求得ED長，利用勾股定理分別求出FB2，EF2，BE2，驗證FB2+EF2是否等于BE2，如果等于即可證明∠EFB=90°．

設ED=b，

（3）過K作KE⊥KG交CG于E．可證得四邊形CDOG是正方形，△EKG是等腰直角三角形，即可證得△ECK≌△GHK，得CK=HK，所以△KCH是等腰直角三角形，因為∠DKC=3∠KHG，所以2∠KHG=45°，∠KHG=∠KCE=22.5°，CD=CG=CE+EG=KE+EG

=KG+KG，即可證得．

（1）∵(a+1)2++|d﹣4|=0，

∴a+1=0，b﹣3=0，d﹣4=0，

∴a=1，b=3，d=4，

∴A(﹣1,0)，B(3,0)，D(0,4)，

∴OA=1，OD=4，

過C作CE⊥x軸于E點．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠DAO=∠CBE．

∵∠AOD=∠CEB=90°，

∴△CBE≌△DAO(AAS)，

∴CE=OD=4，BE=AO=1，

∴OE=4，

∴C(4,4)，

∴S四邊形ABCD=4×4=16；

（2）連接BE，OF，過F作FG⊥x軸于G，FK⊥y軸于K．

∵線段BC的中垂線交y軸與點E，

∴CE=BE．

∵F為AD的中點，

∴F(﹣,2)，

∴DE2+DC2=EC2=EB2=EO2+OB2，

∴DE2+42=(4﹣DE)2+32，

解得：ED=，

∴FB2=FG2+BG2=4+，EF2=FK2+EK2=+=

BE2=OE2+OB2=9+=．

∵FB2+EF2=+==BE2，

∴△EFB是直角三角形，

∴∠EFB=90°；

（3）如圖3，過K作KE⊥KG交CG于E．

∵CG⊥x軸與點G，

∴CD=CG=4，

∴四邊形CDOG是正方形，

∴∠DGC=45°，

∴△EKG是等腰直角三角形，

∴KG=KE，

∴∠KEG=∠KGE=45°，

∴∠CEK=∠HGK=135°，

∴△ECK≌△GHK(ASA)，

∴CK=HK，

∴△KCH是等腰直角三角形

∵∠DKC=3∠KHG，

∴2∠KHG=45°，∠KHG=∠KCE=22.5°

∴CD=CG=CE+EG=KE+EG=KG+KG，

∴