Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A（0，a）、B（b，0）且a＞|b|．
（1）若a、b滿足a2+b2﹣4a﹣2b+5=0．
①求a、b的值；
②如圖1，在①的條件下，將點B在x軸上平移，且b滿足：0＜b＜2；在第一象限內以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，請用b表示S四邊形AOBC ， 并寫出解答過程．
（2）若將線段AB沿x軸向正方向移動a個單位得到線段DE（D對應A，E對應B）連接DO，作EF⊥DO于F，連接AF、BF．
①如圖2，判斷AF與BF的關系并說明理由；
②若BF=OA﹣OB，求∠OAF的度數（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】解：（1）①∵a2+b2﹣4a﹣2b+5=0，
∴（a﹣2）2+（b﹣1）2=0，
∴a=2，b=1，
②∵A（0，2），B（b，0），
∴AB=，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴S四邊形AOBC=S△AOB+S△ABC=AOBO+BC2=b2+b+1，（0＜b＜2）．
（2）①結論：FA=FB，FA⊥FB，理由如下：
如圖，

作FG⊥y軸，FH⊥x軸垂足分別為G、H．
∵A（0，a）向右平移a個單位到D，
∴點D坐標為（a，a），點E坐標為（a+b，0），
∴∠DOE=45°，
∵EF⊥OD，
∴∠OFE=90°∠FOE=∠FEO=45°，
∴FO=EF，
∴FH=OH=HE=（a+b），
∴點F坐標（，），
∴FG=FH，四邊形FHOG是正方形，
∴OG=FH=，∠GFH=90°，
∴AG=AO﹣OG=a﹣=，BH=OH﹣OB=-b=，
∴AG=BH，
在△FGA和△FHB中，
，
∴△FGA≌△FHB，
∴FA=FB，∠AFG=∠BFH，
∴∠AFB=∠GFH=90°．
AF⊥BF，AF=BF．
②∵△FGA≌△FHB，
∴∠FBH=∠OAF，
在RT△BFH中，∵BF=OA﹣OB=a﹣b，BH=，
∴cos∠FBH=，
∴∠FBH=60°，
∴∠OAF=60°．
故答案為60°．
【解析】（1）①化簡得（a﹣2）2+（b﹣1）2=0，根據非負數的性質即可求出a、b．②利用S四邊形AOBC=S△AOB+S△ABC即可解決．
（2）①結論：AF=FB，AF⊥FB，作FG⊥y軸，FH⊥x軸垂足分別為G、H．，先證明四邊形FHOG是正方形，然后證明△FGA≌△FHB得FA=FB，∠AFG=∠BFH所以∠AFB=∠GFH=90°．從而得證．
②由△FGA≌△FHB得∠FBH=∠OAF，在RT△FBH中，求出cos∠FBH=的值即可解決．