Question

某種商品在30天內每件銷售價格P（元）與時間t（天）的函數關系用如圖所示的兩條線段表示，該商品在30天內日銷售量Q（件）與時間t（天）之間的函數關系是Q=-t+40（0＜t≤30，t是整數）．
（1）求該商品每件的銷售價格P與時間t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）求該商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天？（日銷售金額=每件的銷售價格×日銷售量）

Answer 1

（1）當0＜t＜25時，設P=kt+b，則

b=20 25k+b=45

解得

b=20 k=1

，
則P=t+20；
當25≤t≤30時，設P=mt+n，則

25m+n=75 30m+n=70

，
解得

m=-1 n=100

則P=-t+100，
綜上所述：P=

t+20(0＜t＜25) -t+100(25≤t≤30)

（2）設銷售額為S元
當0＜t＜25時，S=P•Q=（t+20）•（-t+40）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900，
則當t=10時，S_max=900，
當25≤t≤30時，S=PQ=（100-t）（-t+40）=t²-140t+4000=（t-70）²-900，
則當t=25時，S_max=1125＞900，
綜上所述，第25天時，銷售額最大為1125元．