Question

【題目】如圖所示，菱形ABCD的頂點A、B在x軸上，點A在點B的左側，點D在y軸的正半軸上，∠BAD=60°，點A的坐標為（﹣2，0）．

（1）求C點的坐標；

（2）求直線AC的函數關系式；

（3）動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度，按照A→D→C→B→A的順序在菱形的邊上勻速運動一周，設運動時間為t秒．求t為何值時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切？

Answer 1

【答案】（1）C（4，2）；

（2）直線AC的解析式為：y=x+；

（3）當t=2、6、10、14時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切．

【解析】

試題分析：（1）在Rt△AOD中，根據OA的長以及∠BAD的正切值，即可求得OD的長，從而得到D點的坐標，然后由菱形的鄰邊相等和對邊相互平行來求點C的坐標；

（2）根據點A、C的坐標，利用待定系數法可求得直線AD的解析式．

（3）由于點P沿菱形的四邊勻速運動一周，那么本題要分作四種情況考慮：

在Rt△OAD中，易求得AD的長，也就得到了菱形的邊長，而菱形的對角線平分一組對角，那么∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA=30°；

①當點P在線段AD上時，若⊙P與AC相切，由于∠PAC=30°，那么AP=2R（R為⊙P的半徑），由此可求得AP的長，即可得到t的值；

②③④的解題思路與①完全相同，只不過在求t值時，方法略有不同．

試題解析：（1）∵點A的坐標為（﹣2，0），∠BAD=60°，∠AOD=90°，

∴OD=OAtan60°=2，AD=4，

∴點D的坐標為（0，2），

又∵AD=CD，CD∥AB，

∴C（4，2）；

（2）設直線AC的函數表達式為y=kx+b（k≠0），

∵A（﹣2，0），C（4，2），

∴，

解得．

故直線AC的解析式為：y=x+；

（3）∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠DCB=∠BAD=60°，

∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，

AD=DC=CB=BA=4，（5分）

如圖所示：

①點P在AD上與AC相切時，

連接P1E，則P1E⊥AC，P1E=r，

∵∠1=30°，

∴AP1=2r=2，

∴t1=2．

②點P在DC上與AC相切時，

CP2=2r=2，

∴AD+DP2=6，

∴t2=6．

③點P在BC上與AC相切時，

CP3=2r=2，

∴AD+DC+CP3=10，

∴t3=10．

④點P在AB上與AC相切時，

AP4=2r=2，

∴AD+DC+CB+BP4=14，

∴t4=14，

∴當t=2、6、10、14時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切．