Question

如圖，在平面直角坐標系中，己知點O（0，0），A（5，0），B（4，4）．
（1）求過O、B、A三點的拋物線的解析式．
（2）在第一象限的拋物線上存在點M，使以O、A、B、M為頂點的四邊形面積最大，求點M的坐標．
（3）作直線x=m交拋物線于點P，交線段OB于點Q，當△PQB為等腰三角形時，求m的值．

Answer 1

（1）該拋物線的解析式為y=﹣x（x﹣5）=﹣x²+5x；
（2）M（2，6）；
（3）當△PQB為等腰三角形時，m的值為1，2或．

解析試題分析：（1）由于拋物線與x軸的兩個交點已知，因此拋物線的解析式可設成交點式，然后把點B的坐標代入，即可求出拋物線的解析式；
（2）以O、A、B、M為頂點的四邊形中，△OAB的面積固定，因此只要另外一個三角形面積最大，則四邊形面積即最大；求出另一個三角形面積的表達式，利用二次函數的性質確定其最值；本問需分類討論：
①當0＜x≤4時，點M在拋物線OB段上時，如答圖1所示；
②當4＜x≤5時，點M在拋物線AB段上時，圖略．
（3）△PQB為等腰三角形時，有三種情形，需要分類討論，避免漏解：
①若點B為頂點，即BP=BQ，如答圖2﹣1所示；
②若點P為頂點，即PQ=PB，如答圖2﹣2所示；
③若點P為頂點，即PQ=QB，如答圖2﹣3所示．
試題解析：（1）∵該拋物線經過點A（5，0），O（0，0），
∴該拋物線的解析式可設為y=a（x﹣0）（x﹣5）=ax（x﹣5）．
∵點B（4，4）在該拋物線上，
∴a×4×（4﹣5）=4．
∴a=﹣1．
∴該拋物線的解析式為y=﹣x（x﹣5）=﹣x²+5x；
（2）以O、A、B、M為頂點的四邊形中，△OAB的面積固定，因此只要另外一個三角形面積最大，則四邊形面積即最大．
①當0＜x≤4時，點M在拋物線OB段上時，如答圖1所示．

∵B（4，4），∴易知直線OB的解析式為：y=x．
設M（x，﹣x²+5x），
過點M作ME∥y軸，交OB于點E，則E（x，x），
∴ME=（﹣x²+5x）﹣x=﹣x²+4x．
S_△OBM=S_△MEO+S_△MEB=ME（x_E﹣0）+ME（x_B﹣x_E）=ME•x_B=ME×4=2ME，
∴S_△OBM=﹣2x²+8x=﹣2（x﹣2）²+8
∴當x=2時，S_△OBM最大值為8，即四邊形的面積最大．
②當4＜x≤5時，點M在拋物線AB段上時，
可求得直線AB解析式為：y=﹣4x+20．
設M（x，﹣x²+5x），
過點M作ME∥y軸，交AB于點E，則E（x，﹣4x+20），
∴ME=（﹣x²+5x）﹣（﹣4x+20）=﹣x²+9x﹣20．
S_△ABM=S_△MEB+S_△MEA=ME（x_E﹣x_B）+ME（x_A﹣x_E）=ME•（x_A﹣x_B）=ME×1=ME，
∴S_△ABM=﹣x²+x﹣10=﹣（x﹣）²+
∴當x=時，S_△ABM最大值為，即四邊形的面積最大．
比較①②可知，當x=2時，四邊形面積最大．
當x=2時，y=﹣x²+5x=6，
∴M（2，6）；
（3）由題意可知，點P在線段OB上方的拋物線上．
設P（m，﹣m²+5m），則Q（m，m）
當△PQB為等腰三角形時，
①若點B為頂點，即BP=BQ，如答圖2﹣1所示．
過點B作BE⊥PQ于點E，則點E為線段PQ中點，
∴E（m，）．
∵BE∥x軸，B（4，4），
∴=4，
解得：m=2或m=4（與點B重合，舍去）
∴m=2；

②若點P為頂點，即PQ=PB，如答圖2﹣2所示．
易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，則△PQB為等腰直角三角形．
∴PB∥x軸，
∴﹣m²+5m=4，
解得：m=1或m=4（與點B重合，舍去）
∴m=1；
③若點P為頂點，即PQ=QB，如答圖2﹣3所示．
∵P（m，﹣m²+5m），Q（m，m），
∴PQ=﹣m²+4m．
又∵QB=（x_B﹣x_Q）=（4﹣m），
∴﹣m²+4m=（4﹣m），
解得：m=或m=4（與點B重合，舍去），
∴m=．
綜上所述，當△PQB為等腰三角形時，m的值為1，2或．
考點：二次函數綜合題．