Question

【題目】點(diǎn)A，C，為半徑是6的⊙O上兩點(diǎn)，點(diǎn)B為的中點(diǎn)，以線段BA，BC為鄰邊作菱形ABCD，使點(diǎn)D落在⊙O內(nèi)（不含圓周上），則下列結(jié)論：①直線BD必過圓心O；②菱形ABCD的邊長(zhǎng)a的取值范圍是0＜a＜10；③若點(diǎn)D與圓心O重合，則∠ABC=120°；④若DO=2，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)為或．其中正確的是（　　）

A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①根據(jù)垂徑定理的推論即可解決問題；
②當(dāng)BD是直徑時(shí)，邊長(zhǎng)最大，最大值為6，故②錯(cuò)誤；
③如圖2中，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí)，易知△ABO，△BOC都是等邊三角形，由此即可解決問題；
④分兩種情形分別求解即可判定；

如圖1中，連接AC、BD交于點(diǎn)K．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分線段AC，
∴直線BD經(jīng)過圓心O，設(shè)直線BD交⊙O于H．故①正確，
當(dāng)BD是直徑時(shí)，邊長(zhǎng)最大，最大值為6，故②錯(cuò)誤，
如圖2中，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí)，易知△ABO，△BOC都是等邊三角形，
∴∠ABO=∠CBO=60°，
∴∠ABC=120°．故③正確，

如圖3中，當(dāng)點(diǎn)D在BO的延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵OD=2，OB=6，
∴BD=8，
∴BK=DK=4，OK=2，
∴AK2=OA2-OK2=32，
AB= ，
當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上時(shí)，同法可得AB=2 ，
∴AB=4或2，故④錯(cuò)誤；
故選：A．