Question

（本小題滿分10分）如圖，已知拋物線經過A（-2，0），B（-3，3）  及原點，頂點為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點在拋物線上，點在拋物線的對稱軸上，且以A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標；

（3）是拋物線上第一象限內的動點，過點作軸，垂足為，是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵拋物線過原點，

∴可設拋物線的解析式為…………… 2分

（2）如圖，①當為邊時，

②當為對角線時，則與互相平分.

又點在對稱軸上，

且線段的中點橫坐標為-1，

由對稱性知，符合條件的點只有一個，即頂點

綜上所述，符合條件的點共有三個，分別為…… 6分

（3）存在. …………… 7分

如圖，∵根據勾股定理得

∴

∴是直角三角形.

假設存在點，使得以為頂點的三角形與相似.

設，由題意知且

①若則

則  解得（舍去）.

當時，，即

綜上所述，符合條件的點有兩個，分別是…………… 10分

解析:略