Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△AOP為等邊三角形，A(0，2)，點B為y軸上一動點，以BP為邊作等邊△PBC，延長CA交x軸于點E.

(1)求證：OB＝AC；

(2)∠CAP的度數是；

(3)當B點運動時，猜想AE的長度是否發生變化？并說明理由；

(4)在(3)的條件下，在y軸上存在點Q，使得△AEQ為等腰三角形，請寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析.

【解析】

(1）根據等邊三角形性質得出OP=AP，BP=PC，∠APO=∠CPB=60°，求出∠OPB=∠APC，證出△PBO≌△PCA即可；（2）當點B在y軸正半軸上時，由（1）知∠PBO=∠PCA，根據∠BAC=∠BPC=60°，當點B在y軸負半軸上時，判斷出△APC≌△OPB（SAS），即可求出答案;（3）∠EAO=60°，求出∠AEO=30°，得出AE=2AO，求出即可;（4）分點Q在y軸正半軸和負半軸兩種情況計算即可．

解：(1)證明：∵△AOP，△PBC均為等邊三角形，

∴OP＝AP，BP＝PC，∠OPA＝∠BPC＝60°.

∴∠OPA＋∠APB＝∠APB＋BPC，即∠OPB＝∠APC.

在△PBO和△PCA中，

∴△PBO≌△PCA(SAS)．∴OB＝AC.

(2)當點B在y軸正半軸上時，

由（1）知∠PBO=∠PCA，

∴∠BAC=∠BPC=60°，

又∵∠OAP=60°，

∴∠CAP=60°．

當點B在y軸負半軸上時，如圖，

∵△AOP和△BCP是等邊三角形，

∴AP=OP，PC=PB，∠AOP=∠APO=∠BPC=60°，

∴∠APC=∠OPB，

∴△APC≌△OPB（SAS），

∴∠CAP=∠BOP=180°-∠AOP=120°，

∵延長CA交x軸于點E，

∴此種情況不符合題意，舍去，

故∠CAP的度數是60°；

(3)當點B運動時，AE的長度不會發生變化．理由如下：

∵∠CAP＝60°，∠PAO＝60°，

∴∠EAO＝180°－60°－60°＝60°.

∵∠AOE＝90°，∴∠AEO＝30°.∴AE＝2AO.

∵A(0，2)，∴OA＝2.∴AE＝4.

∴當B點運動時，AE的長度不發生變化，為4.

(4) 由（3）知，AE=4，∠OAE=60°，

當點Q在y軸負半軸時，

∵OA⊥AE，

∴點Q與點A關于x軸對稱，

∴Q（0，-2），

當點Q在y軸正半軸時，EQ=AE=4，

∴OQ=OA+EQ=6，

∴Q（0，6）．

即：滿足條件的點Q的坐標為（0，-2）或（0，6）．