Question

如圖，直線MN：y=-x+b與x軸交于點M（4，0），與y軸交于點N，長方形ABCD的邊AB在x軸上，AB=2，AD=1．長方形ABCD由點A與點O重合的位置開始，以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向作勻速直線運動，當點A與點M重合時停止運動．設長方形運動的時間為t秒，長方形ABCD與△OMN重合部分的面積為S．
（1）求直線MN的解析式；
（2）當t=1時，請判斷點C是否在直線MN上，并說明理由；
（3）請求出當t為何值時，點D在直線MN上；
（4）直接寫出在整個運動過程中S與t的函數關系式．

Answer 1

（1）∵點M（4，0）在y=-x+b上，
∴0=-4+b，
∴b=4．
∴直線MN的解析式為：y=-x+4；

（2）當t=1時，點C在直線MN上，
∵當t=1時，C（3，1），
∴當x=3時，y=-3+4=1．
∵C點的縱坐標y=1，
∴點C（3，1）在直線MN上．

（3）∵開始時D點的坐標為（0，1），
∴平移后D點縱坐標為1，
∴1=-x+4，
∴x=3．
∴平移后點D的坐標為（3，1）．
∴t=（3-0）÷1=3
∴t=3時，點D在直線MN上；

（4）由題意，得
當0≤t≤1時，如圖1
S=2
當1＜t≤2時，如圖2，
∵MN的解析式為y=-x+4，
當x=0時，y=4，
當y=0時，x=4，
∴OM=ON=4，
∴tan∠OMN=1．
∴∠OMN=45°，
∴BM=BE．
∵MB=4-2-t=2-t，
∴BE=2-t．
∴CF=CE=1-（2-t）=t-1
S=2-

(t-1)2

2

，
=-0.5t²+t+1.5；
當2＜t≤3時，如圖3，作EF⊥AB于E，
∴EF=1，
∴EM=1．
∵MB=t+2-4=t-2，
∴AM=2-（t-2）=4-t，
∴AE=4-t-1=3-t，
∴DF=3-t，
∴S=

[(3-t)+(4-t)]×1

2

=-t+3.5；
當3＜t≤4時，如圖4，
∵AM=AF=4-t，
∴S=

(4-t)2

2

=0.5t²-4t+8，
綜上所述：
S=

2(0≤t≤1) -0.5t2+t+1.5(1＜t≤2) -t+3.5(2＜t≤3) 0.5t2-4t+8(3＜t≤4)

．