Question

（2013•紅橋區一模）已知拋物線F：y=ax²+bx+c的頂點為P．
（Ⅰ）當a=1，b=-2，c=-3，求該拋物線與x軸公共點的坐標；
（Ⅱ）設拋物線F：y=ax²+bx+c與y軸交于點A，過點P作PD⊥x軸于點D．平移該拋物線使其經過點A、D，得到拋物線F：y=a′x²+b′x+c′（如圖所示）．若a、b、c滿足了b²=2ac，求b：b′的值；
（Ⅲ）若a=3，b=2，且當-1＜x＜1時，拋物線F與x軸有且只有一個公共點，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用配方法得出y=（x-1）²-4，當y=0時，（x-1）²-4=0，求出x的值，即可得出拋物線與x軸公共點的坐標；
（Ⅱ）兩個拋物線的開口方向和開口大小都相同，那么a=a′；它們與y軸交于同一點，那么c=c′；將D的坐標代入拋物線F′的解析式中，先求出b′，再求b：b′的值．
（Ⅲ）分3種情況．第1種：△=0，c=

1

3

；
第2種：把x=-1代入函數使y大于0，且把x=1代入函數，使y小于0，解這個不等式，可得c的取值范圍；
第3種：把x=-1代入函數使y小于0，且把x=1代入函數，使y大于0，解這個不等式組，可得c的取值范圍．
綜合這三個結果即可得n的范圍．在2，3種情況下必須保證△大于0．

解答：解：（Ⅰ）當a=1、b=-2、c=-3時
y=x²-2x-3
=（x-1）²-4，
當y=0時，（x-1）²-4=0，
（x-1）²=4
則x-1=2或x-1=-2
∴x₁=3，x₂=-1，
∴P（1，-4）與x軸的交點坐標（3，0）（-1，0）；

（Ⅱ）由題意可知A（0，c），P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）
∴D（-

b

2a

，0）
∵平移得到y=a'x²+b'x+c'
∴a=a′，
∴y=a'x²+b'x+c'經過（0，c），（-

b

2a

，0），
∴

c′=c a(- b 2a )2+b′(- b 2a )+c′=0

，
∴

b2

4a

-

bb′

2a

+c′=0，
∴b²-2bb'+4ac=0，
∵b²=2ac，
∴b²-2bb'+2b²=0，
∴3b²=2bb′，
∴3b=2b′，
∴b：b′=

2

3

；

（Ⅲ））∵拋物線與x軸有公共點，
∴對于方程3x²+2x+c=0，判別式△=4-12c≥0，
∴c≤

1

3

．
①當c=

1

3

時，由方程3x²+2x+

1

3

=0，
解得x₁=x₂=-

1

3

．此時拋物線為y=3x²+2x+

1

3

與x軸只有一個公共點（-

1

3

，0）；
②當c＜

1

3

時，
x₁=-1時，y₁=3-2+c=1+c；
x₂=1時，y₂=3+2+c=5+c；
由已知-1＜x＜1時，該拋物線與x軸有且只有一個公共點，考慮其對稱軸為x=-

1

3

，
應有y₁≤0，且y₂＞0即1+c≤0，且5+c＞0．
解得：-5＜c≤-1．
綜合①，②得c的取值范圍是：c=

1

3

或-5＜c≤-1．

點評：此題主要考查的是函數圖象的平移問題以及不等式組的解，弄清楚拋物線在平移過程中，各系數的變化情況是解答此類問題的關鍵所在．