Question

如圖，AB為⊙O直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點，∠ABD=2∠BAC，連接CD.過點C作CE⊥DB，垂足為E，直線AB與CE相交于F點.
（1）求證：CF為⊙O的切線；
（2）當BF=5,時，求BD的長.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）9.

試題分析：（1）連接，證明即可證明CF為⊙O的切線.
（2）連接，由∽得到，在Rt△BEF和Rt△ABD中應用銳角三角函數定義即可求得BD的長.
試題解析：（1）如圖，連接.
∵, ∴
又∵∴
又∵，∴ ∴OC∥DB.
∵CE⊥DB，∴.
又∵為⊙的半徑，∴為⊙O的切線.

（2）如圖，連接.
在Rt△BEF中，∠BEF=90°, BF=5,，∴.
∵OC∥BE, ∴∽.∴
設⊙的半徑為r, ∴ ∴.
∵AB為⊙O直徑，∴.∴.
∵, ∴.
∴ ∴∴．