Question

【題目】如圖，拋物線L1：（常數t>0）與軸的負半軸交于點G，頂點為Q，過Q作QM⊥軸交軸于點M，交雙曲線L2：于點P，且OG·MP=4．

（1）求值；

（2）當t=2時，求PQ的長；

（3）當P是QM的中點時，求t的值；

（4）拋物線L1與拋物線L2所圍成的區域（不含標界）內整點（點的橫、縱坐標都是整數）的個數有且只有1個，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）k=-2；（2）PQ=；（3）t=4；（4）．

【解析】

（1）由題意得G點和M點的坐標，可得OG=t，根據OG·MP=4，可得MP，可得出P的坐標，把P代入，即可得出答案；

（2）先根據題意得出Q的坐標為（-1，），P的橫坐標為-1，把x=-1代入求出y，即可求出答案；

（3）根據題意表示出Q的坐標和P的坐標，把P代入即可得出答案；

（4）根據題意得由L1與L2圍成的區域只有一個整點，分①當x=-2時，滿足1<y≤2和當x=-3時，滿足1<y≤2；②當x=-2時，滿足2<y≤3和當x=-3時，滿足0≤y≤1，兩種情況討論即可．

（1）由題意得G的坐標為（-t，0），

∴M點的坐標為（，0），

∴OG=t，

∵OG·MP=4，

∴MP=，

∴P的坐標為（，），

把P（，）代入，得，

解得k=-2；

（2）由（1）得雙曲線L2：，

當t=2時，拋物線L1：，

∴Q的坐標為（-1，），P的橫坐標為-1，

當x=-1時，在中，y==2，

∴PQ=2-=；

（3）拋物線L1：，

∴Q的坐標為（，），

∵P是QM的中點，

∴P的坐標為（，），

把P（，）代入得：，

解得：t=4；

（4）由L1與L2圍成的區域只有一個整點，

①如圖，L1具有對稱性，

∴當x=-2時，滿足1<y≤2，

∴1<t-2≤2，

解得3<t≤4，

當x=-3時，滿足1<y≤2，

∴1<（t-3）≤2，

<t-3≤，

，

∴t的取值范圍是；

②如圖：

當x=-2時，滿足2<y≤3，

∴2<t-2≤3，

解得4<t≤5，

當x=-3時，滿足0≤y≤1，

∴0≤（t-3）≤1，

0≤t-3≤，

，

此時無解；

綜上：t的取值范圍是．