Question

如圖，反比例函數y₁=

m

x

與一次函數y₂=kx+b的圖象交于兩點A（n，-1）、B（1，2）．
（1）求反比例函數與一次函數的關系式；
（2）根據圖象，直接回答：當x取何值時，y₁≥y₂？
（3）連接OA、OB，求△AOB的面積；
（4）在反比例函數的圖象上找點P，使△POB為等腰三角形，這樣的P點有幾個？并直接寫出兩個滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）先把B（1，2）代入y₁=

m

x

求出m，則可確定反比例函數解析式；再把A（n，-1）代入反比例解析式求出n得到A點坐標，然后利用待定系數法確定一次函數解析式；
（2）觀察函數圖象得到當0≤x＜1或x≥-2時，反比例函數圖象都在一次函數圖象上方；
（3）先確定C點坐標，然后利用△AOB的面積=△AOC的面積+△COB的面積進行計算；
（4）由于點A（-2，-1）與B（1，2）關于直線y=-x對稱，所以P點在A點時，△POB為等腰三角形；當P點與B點關于直線y=x對稱時，△POB為等腰三角形，然后寫出P點坐標．

解答：解：（1）把B（1，2）代入y₁=

m

x

得m=1×2=2，
所以反比例函數解析式為y₁=

2

x

；
把A（n，-1）代入y₁=

2

x

得-n=2，解得n=-2，則A點坐標為（-2，-1），
把A（-2，-1）、B（1，2）代入y₂=kx+b得

-2k+b=-1 k+b=2

，解得

k=1 b=1

，
所以一次函數解析式為y₂=x+1；
（2）當0≤x＜1或x≥-2時，y₁≥y₂；
（3）設AB與y軸交于C點，則C點坐標為（0，1），
所以△AOB的面積=△AOC的面積+△COB的面積=

1

2

×1×2+

1

2

×1×1=

3

2

；
（4）點A（-2，-1）與B（1，2）關于直線y=-x對稱，所以P點在A點時，△POB為等腰三角形；
當P點與B點關于直線y=x對稱時，△POB為等腰三角形，此時P點坐標為（2，1），
所以滿足條件的P點有2個，即（2，1），（-2，-1）．

點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數圖象的交點坐標滿足兩函數解析式．也考查了待定系數法求函數解析式以及觀察函數圖象的能力．