Question

如圖，二次函數的圖象與x軸交于點A（-3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E．

（1）請直接寫出點D的坐標：
（2）當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；
（3）是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（﹣3，4）；（2）P為AO中點時，OE的最大值為；(3)存在，或.

解析試題分析：（1）將點A的坐標代入二次函數的解析式求得其解析式，然后求得點B的坐標即可求得正方形ABCD的邊長，從而求得點D的縱坐標；
（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，從而得到有關兩個變量的二次函數，求最值即可；
（3）分點P位于y軸左側和右側兩種情況討論即可得到重疊部分的面積．
試題解析：（1）（﹣3，4）；
（2）設PA=t，OE=l
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE
∴
∴l=﹣
∴當t=時，l有最大值
即P為AO中點時，OE的最大值為；
（3）存在．
①點P點在y軸左側時，P點的坐標為（﹣4，0）
由△PAD∽△OEG得OE=PA=1
∴OP=OA+PA=4
∵△ADG∽△OEG
∴AG：GO=AD：OE=4：1
∴AG=，
∴重疊部分的面積=；
②當P點在y軸右側時，P點的坐標為（4，0），
此時重疊部分的面積為.
考點: 二次函數綜合題．