Question

已知：如圖，等邊△ABC內接于⊙O，點P是劣弧

BC

上的一點（端點除外），延長BP至D，使BD=AP，連接CD．
（1）若AP過圓心O，如圖①，請你判斷△PDC是什么三角形？并說明理由；
（2）若AP不過圓心O，如圖②，△PDC又是什么三角形？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據已知利用SAS判定△APC≌△BDC，從而得到PC=DC，因為AP過圓心O，AB=AC，∠BAC=60°，
所以∠BAP=∠PAC=

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∠BAC=30°，又知∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°，從而推出△PDC為等邊三角形；
（2）同理可證△PDC為等邊三角形．

解答：解：（1）如圖①，△PDC為等邊三角形．
（2分）
理由如下：
∵△ABC為等邊三角形
∴AC=BC
∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC
又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC
∴PC=DC
∵AP過圓心O，AB=AC，∠BAC=60°
∴∠BAP=∠PAC=

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∠BAC=30°
∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°
∴△PDC為等邊三角形；（6分）

（2）如圖②，△PDC仍為等邊三角形．（8分）
理由如下：
∵△ABC為等邊三角形
∴AC=BC
∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC
又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC
∴PC=DC
∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°
∴△PDC為等邊三角形．（12分）

點評：此題主要考查學生對學生以圓周角定理及等邊三角形的判定方法的理解及運用．