Question

若n是質數，且分數

n-4

n+17

不約分或經過約分后是一個最簡分數的平方，則n=

 

或

 

．

Answer 1

分析：先根據分數

n-4

n+17

不約分或經過約分后是一個最簡分數的平方可設n+17=ka²，n-4=kb²，由n是質數判斷出n的取值范圍，再根據

n-4

n+17

是最簡分數和不是最簡分數兩種情況進行討論．

解答：解：根據題意可設n+17=ka²…①，n-4=kb²，…②，最簡分數的平方就是：

kb2

ka2

=（

b

a

）²，兩式相減，得k（a²-b²）=21，
k（a+b）（a-b）=1×3×7
可知，質數n必定大于4，否則n-4將小于0，所以n是奇質數，則n-4為奇數，n+17為偶數．可知a+b＞a-b，所以
①若

n-4

n+17

是最簡分數，則有
k=1，
a+b=7，
a-b=3，
解得：a=5，b=2，此時n-4=4，為偶數，不符；
或者：k=1，
a+b=21，
a-b=1，
解得：a=11，b=10，此時n-4=100，為偶數，不符；
②所以

n-4

n+17

不是最簡分數，則有
k=3，
a+b=7，
a-b=1，
解得：a=4，b=3，此時n=31，n-4=27，n+17=48，

n-4

n+17

=

27

48

=

9

16

=（

3

4

）²，符合要求；
或者：k=7，
a+b=3，
a-b=1，
解得：a=2，b=1，此時n=11，n-4=7，n+17=28，

n-4

n+17

=

7

28

=

1

4

=（

1

2

）²，符合要求．
綜上所述，n的值為31和11．
故答案為：31或11．

點評：本題考查的是質數與合數的定義，在解答此題時一定要分

n-4

n+17

是最簡分數和不是最簡分數兩種情況討論，不要漏解．