Question

【題目】如圖所示，把矩形紙片OABC放入直角坐標系xOy中，使OA、OC分別落在x、y軸的正半軸上，連接AC，且AC=4，

（1）求AC所在直線的解析式；

（2）將紙片OABC折疊，使點A與點C重合（折痕為EF），求折疊后紙片重疊部分的面積．

（3）求EF所在的直線的函數解析式．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+4；（2）重疊部分的面積為10；（3）y=2x﹣6

【解析】試題分析：

（1）設OC=x，則OA=2x，在Rt△AOC中，由勾股定理建立方程，解方程求得x的值，即可得到點A、C的坐標，根據所得A、C兩點的坐標用待定系數法求出直線AC的解析式即可；

（2）由折疊的性質可得AE=CE，設AE=CE=y，結合OA=8，可得OE=8-y，在Rt△OCE中由勾股定理建立方程解方程求得y的值即可得到CE的值，再證∠CEF=∠AEF=∠CFE可得CF=CE，這樣即可由三角形面積公式求出△CEF的面積了.

（3）由（2）可知OE，CF的長，從而可得點E、F的坐標，由此即可用待定系數法求得直線EF的解析式了.

試題解析：

（1）∵，

∴ 可設OC=x，則OA=2x，

在Rt△AOC中，由勾股定理可得OC2+OA2=AC2，

∴x2+（2x）2=（4）2，解得x=4或x=﹣4（不合題意，舍去），

∴OC=4，OA=8，

∴A（8，0），C（0，4），

設直線AC解析式為y=kx+b，

∴ ，解得： ，

∴直線AC解析式為y=x+4；

（2）由折疊的性質可知AE=CE，

設AE=CE=y，則OE=8﹣y，

在Rt△OCE中，由勾股定理可得OE2+OC2=CE2，

∴（8﹣y）2+42=y2，解得y=5，

∴AE=CE=5，

∵∠AEF=∠CEF，∠CFE=∠AEF，

∴∠CFE=∠CEF，

∴CE=CF=5，

∴S△CEF=CFOC=×5×4=10，

即重疊部分的面積為10；

（3）由（2）可知OE=3，CF=5，

∴E（3，0），F（5，4），

設直線EF的解析式為y=k′x+b′，

∴ ，解得： ，

∴直線EF的解析式為y=2x﹣6．