Question

如圖，已知直線l經過點A（1，0），與雙曲線y=（x＞0）交于點B（2，1）．過點P（p，p-1）（p＞1）作x軸的平行線分別交雙曲線y=（x＞0）和y=-（x＜0）于點M、N．
（1）求m的值和直線l的解析式；
（2）若點P在直線y=2上，求證：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在實數p，使得S_△AMN=4S_△AMP？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：∵B（2，1）在雙曲線y=（x＞0）上，
∴m=2，
設直線l的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線l的解析式為y=x-1；

（2）證明：∵點P（p，p-1）（p＞1），點P在直線y=2上，
∴p-1=2，
解得p=3，
∴P（3，2），
∴PM=2，PN=4，PA=2，PB=，
∵∠BPM=∠APN，PM：PN=PB：PA=1：2，
∴△PMB∽△PNA；

（3）解：存在實數p，使得S_△AMN=4S_△AMP．
∵P（p，p-1）（p＞1），
∴點M、N的縱坐標都為p-1，
將y=p-1代入y=和y=-，
得x=和x=-，
∴M、N的坐標分別為（，p-1），（-，p-1），
①當1＜p＜2時，
MN=，PM=-p，
∵S_△AMN=MN×（p-1）=2，S_△AMP=MP×（p-1）=-p²+p+1，
S_△AMN=4S_△AMP，
∴2=4×（-p²+p+1），
整理，得p²-p-1=0，
解得：p=，
∵1＜p＜2，
∴p=，
②當p＞2時，
MN=，PM=p-，
∵S_△AMN=MN×（p-1）=2，S_△AMP=MP×（p-1）=p²-p-1，
S_△AMN=4S_△AMP，
∴2=4×（p²-p-1），
整理，得p²-p-3=0，解得p=，
∵p大于2，
∴p=，
∴存在實數p=或使得S_△AMN=4S_△AMP．
分析：（1）將點B的坐標代入即可得出m的值，設直線l的解析式為y=kx+b，再把點A、B的坐標代入，解方程組求得k和b即可得出直線l的解析式；
（2）根據點P在直線y=2上，求出點P的坐標，再證明△PMB∽△PNA即可；
（3）先假設存在，利用S_△AMN=4S_△AMP．求得p的值，看是否符合要求．
點評：本題考查的知識點是反比例函數的綜合題，以及用待定系數法求反比例函數和一次函數的解析式，相似三角形的判定和性質．