Question

車厘子就是英語單詞cherries（櫻桃）的音譯，車厘子的含鐵量特別高，位于各種水果之首，常食車厘子可補充體內對鐵元素的需求，促進血紅蛋白再生，既可防治缺鐵性貧血．又可增強體質，健腦益智，車厘子營養豐富，具有調中益氣，健脾和胃，祛風濕，“令人面孔好顏色”之功效，對食欲不振，消化不良，風濕身痛等等均有益處．2011年1月份至6月份重慶市某商場車厘子銷售價格y（元）與月份x（1≤x≤6且x為整數）之間的函數關系式如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6
銷售價格y	120	60	40	30	24	20

7月份至12月份車厘子銷售價格y（元）與月份x之間滿足函數關系式：y=2x+30（7≤x≤12，且x為整數），該商場去年車厘子銷售數量z（千克）與月份x（1≤x≤12，且x為整數）之間存在如圖所示的變化趨勢；若去年該商場車厘子的進價為每千克20元，銷售車厘子需要1位員工，該員工每月工資1000元，為了調動該員工的積極性，商場決定每賣出1千克車厘子，該員工提成1元．
（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，直接寫出2011年1月份至6月份銷售價格y與x之間的函數關系式；根據如圖所示的變化趨勢，直接寫出z與x之間滿足的函數關系式；
（2）求去年該商場哪個月銷售車厘子的利潤最大，并求出這個最大利潤；
（3）今年商場取消了員工銷售提成，但是員工工資由每月1000元調整為每月2500元，今年車厘子的進價與去年相同，今年1月份，銷售價格雖比去年12月份增加6元，但每月銷售數量仍比去年12月份增2a%；2月份和3月份，車厘子銷售價格比1月份增加了a%，為了促銷，該商場又聘請了1位員工銷售車厘子，工資也是每月2500元，結果由于其他水果的上市，2月份和3月份每個月銷售數量正好與今年1月份持平，若該商場今年2月份和3月份總利潤為62000元，請你參考以下數據，估算出a的整數值．
（參考數據：7.5²=56.25，8.5²=4225，9.5²=9025）

Answer 1

解：（1）設2011年1月份至6月份銷售價格y與x之間的函數關系式為：y=（1≤x≤6），
將點（1，120）代入可得：120=，
解得：k=120，
故可得y=（1≤x≤6），
由函數圖象可得：z=；

（2）設去年第x月的利潤為W，
1≤x≤6時，W=（y-20-1）z-1000=（-21）•200x=-4200x+23000，
∵-4200＜0，
∴w隨x的增大而減小，
∵1≤x≤6且為整數，
∴當x=1時，W_max=18800元；
7≤x≤12時，W=（y-20-1）z-1000
=-200x²+2700x+15200，
∴-=-=，
∵7≤x≤12且為整數，
∴當x=7時，W_max=24300元，
∵18800＜24300，
∴去年該商場7月份銷售車厘子的利潤最大，最大利潤為24300元．

（3）當x=12時，y=2×12+30=54元/千克，z=600千克，
則今年1月份的銷售價格為：54+6=60元/千克，2月份、3月份的銷售價格為60（1+a%），銷量為600（1+2a%）千克，
由題意得，2×[60（1+a%）-20]•600（1+2a%）-2500×2×2=62000，
令m=a%，
化簡得：6m²+7m-1=0，
解得：m₁=，m₂=＜0，故舍去，
∵7.5²=56.25，8.5²=72.25，9.5²=90.25，
∴73更接近72.25，
∴≈8.5，
∴m≈≈0.125，
∴a=13．
答：估算出a的整數值為13．
分析：（1）根據表格可得2011年1月份至6月份銷售價格y與x成反比例函數關系，從而利于待定系數法可確定函數關系式；結合函數圖象，可得z與x的函數關系式；
（2）設去年第x月的利潤為W，分別求出1≤x≤6時及7≤x≤12時利潤的最大值，繼而比較可得出答案；
（3）求出去年12月的銷售價格、銷售量，得出1月份、2月、3月份的銷量及銷售價格，根據該商場今年2月份和3月份總利潤為62000元，可得出方程，解出即可估算a的整數值．
點評：本題考查了二次函數的應用及一次函數的應用，題目信息量較大，解答本題的關鍵仔細審題、讀圖，得到解題需要的信息，然后將實際問題用函數的知識表示出來，注意掌握配方法求二次函數的最值，難度較大．