Question

【題目】已知：如圖，等邊三角形ABD與等邊三角形ACE具有公共頂點A，連接CD，BE，交于點P.

（1）觀察度量， 的度數為＿＿＿＿.（直接寫出結果）

（2）若繞點A將△ACE旋轉，使得，請你畫出變化后的圖形.（示意圖）

（3）在（2）的條件下，求出的度數.

Answer 1

【答案】（1）120°;（2）作圖見解析；（3）∠BPC =120°．

【解析】分析：（1）∠BPC的度數為120°，理由為：由△ABD與△ACE都是等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS得出三角形DAC與三角形BAE全等，由全等三角形的對應角相等得到∠ADC=∠ABE，利用外角性質，等量代換即可得到所求；（2）作出相應的圖形，如圖所示；（3）解法同（1），求出∠BPC的度數即可．

本題解析：

（1）∠BPC的度數為120°，理由為：

證明：∵△ABD與△ACE都是等邊三角形，

∴∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，

∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，

在△DAC與△BAE中，

，∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴∠ADC=∠ABE，∵∠ADC+∠CDB=60°，∴∠ABE+∠CDB=60°，

∴∠BPC=∠DBP+∠PDB=∠ABE+∠CDB+∠ABC=120°；

（2）作出相應的圖形，如圖所示；

（3）∵△ABD與△ACE都是等邊三角形，

∴∠ADB=∠BAD=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，

∴∠DAB+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠DAC=∠BAE，

在△DAC與△BAE中，

，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ABE+∠DBP=60°，

∴∠ADC+∠DBP=60°，∴∠BPC=∠BDP+∠PBD=∠ADC+∠DBP+∠ADB=120°．