Question

如圖所示，已知等邊△ABC的邊長為a，P是△ABC內一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，點D、E、F分別在BC、AC、AB上，猜想：PD+PE+PF=

a

，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：延長EP交AB于G，延長FP交BC于H，然后證明△PFG和△PDH是等邊三角形，根據等邊三角形的性質求出PF=PG，PD=DH，再證明四邊形BDPG和四邊形CEPH是平行四邊形，根據平行四邊形的對邊相等可得PG=BD，PE=CH，從而求出PD+PE+PF=BC．

解答：解：PD+PE+PF=a．理由如下：
如圖，延長EP交AB于G，延長FP交BC于H，
∵PE∥BC，PF∥AC，△ABC是等邊三角形，
∴∠PGF=∠B=60°，∠PFG=∠A=60°，
∴△PFG是等邊三角形，
同理可得△PDH是等邊三角形，
∴PF=PG，PD=DH，
又∵PD∥AB，PE∥BC，
∴四邊形BDPG是平行四邊形，
∴PG=BD，
∴PD+PE+PF=DH+CH+BD=BC=a．
故答案為a．

點評：本題考查了等邊三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，作輔助線，把PD、PE、PF轉化為等邊三角形△ABC的一條邊是解題的關鍵．