Question

已知在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為A（3，0）、C（0，4），點D的坐標為D（-5，0），點P是直線AC上的一動點，直線DP與y軸交于點M．問：
（1）當點P運動到何位置時，直線DP平分矩形OABC的面積，請簡要說明理由，并求出此時直線DP的函數解析式；
（2）當點P沿直線AC移動時，是否存在使△DOM與△ABC相似的點M，若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）當點P沿直線AC移動時，以點P為圓心、半徑長為R（R＞0）畫圓，所得到的圓稱為動圓P．若設動圓P的直徑長為AC，過點D作動圓P的兩條切線，切點分別為點E、F．請探求是否存在四邊形DEPF的最小面積S，若存在，請求出S的值；若不存在，請說明理由．注：第（3）問請用備用圖解答．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的性質（經過矩形中心的直線把矩形分成面積相等的兩個部分）可知，連接BO與AC交于點H，則當點P運動到點H時，直線DP平分矩形OABC的面積．先求出點P的坐標為P（

3

2

，2），結合點D坐標利用待定系數法求直線DP的函數解析式為：y=

4

13

x+

20

13

．
（2）根據題意可知存在點M使得△DOM與△ABC相似，設直線DP與y軸的正半軸交于點M（0，y_m）．可利用相似中的相似比分別列出關于點M的坐標有關的方程，求解即可．注意：共有3種情況，要考慮周全．
（3）過D作DP⊥AC于點P，以P為圓心，半徑長為

5

2

畫圓，過點D分別作⊙P的切線DE、DF，點E、F是切點．除P點外在直線AC上任取一點P₁，半徑長為

5

2

畫圓，過點D分別作⊙P的切線DE₁、DF₁，點E₁、F₁是切點．在△DEP和△DFP中，△DPE≌△DPF．所以S_{四邊形DEPF}=2S_△DPE=

5

2

DE．可知當DE取最小值時，S_{四邊形DEPF}的值最小．所以當DE是D點與切點所連線段長的最小值．利用相似求得DE的長，再求得S_{四邊形DEPF}=

3471

4

．

解答：解：（1）連接BO與AC交于點H，則當點P運動到點H時，直線DP平分矩形OABC的面積．理由如下：
∵矩形是中心對稱圖形，且點H為矩形的對稱中心．
又據經過中心對稱圖形對稱中心的任一直線平分此中心對稱圖形的面積，
因為直線DP過矩形OABC的對稱中心點H，所以直線DP平分矩形OABC的面積．（2分）
由已知可得此時點P的坐標為P（

3

2

，2）．
設直線DP的函數解析式為y=kx+b．
則有

-5k+b=0 3 2 k+b=2

，解得k=

4

13

，b=

20

13

．
所以，直線DP的函數解析式為：y=

4

13

x+

20

13

．（5分）

（2）存在點M使得△DOM與△ABC相似．
如圖，不妨設直線DP與y軸的正半軸交于點M（0，y_m）．
因為∠DOM=∠ABC，若△DOM與△ABC相似，則有

OM

OD

=

BC

AB

或

OM

OD

=

AB

BC

．
當

OM

OD

=

BC

AB

時，即

ym

5

=

3

4

，解得ym=

15

4

．所以點M₁（0，

15

4

）滿足條件．
當

OM

OD

=

AB

BC

時，即

ym

5

=

4

3

，解得ym=

20

3

．所以點M₂（0，

20

3

）滿足條件．
由對稱性知，點M₃（0，-

15

4

）也滿足條件．
綜上所述，滿足使△DOM與△ABC相似的點M有3個，
分別為M₁（0，

15

4

）、M₂（0，

20

3

）、M₃（0，-

15

4

）．

（3）如圖，過D作DP⊥AC于點P，以P為圓心，半徑長為

5

2

畫圓，
過點D分別作⊙P的切線DE、DF，點E、F是切點．除P點外在直線AC上任取一點P₁，半徑長為

5

2

畫圓，
過點D分別作⊙P的切線DE₁、DF₁，點E₁、F₁是切點．
在△DEP和△DFP中，∠PED=∠PFD，PF=PE，PD=PD，
∴Rt△DPE≌Rt△DPF．
∴S_{四邊形DEPF}=2S_△DPE=2×

1

2

×DE•PE=DE•PE=

5

2

DE．
∴當DE取最小值時，S_{四邊形DEPF}的值最小．
∵DE²=DP²-PE²，DE₁²=DP₁²-P₁E₁²，
∴DE₁²-DE²=DP₁²-DP²．
∵DP₁＞DP，∴DE₁²-DE²＞0．
∴DE₁＞DE．由P₁點的任意性知：DE是D點與切點所連線段長的最小值．（12分）
在△ADP與△AOC中，∠DPA=∠AOC，
∠DAP=∠CAO，∴△ADP∽△ACO．
∴

DP

DA

=

CO

CA

，即

DP

8

=

4

5

．
∴DP=

32

5

．
∴DE=

DP2-PE2

=

1024 25 - 25 4

=

3471

10

．
∴S_{四邊形DEPF}=

3471

4

，即S=

3471

4

．（14分）
（注：本卷中所有題目，若由其它方法得出正確結論，請參照標準給分．）

點評：主要考查了一次函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．