Question

如圖1，中，，，點在線段上運動，點、分別在線段、上，且使得四邊形是矩形．設的長為，矩形的面積為，已知是的函數，其圖象是過點（12，36）的拋物線的一部分（如圖2所示）．

（1）求的長；

（2）當為何值時，矩形的面積最大，并求出最大值．

為了解決這個問題，孔明和研究性學習小組的同學作了如下討論：

張明：圖2中的拋物線過點（12，36）在圖1中表示什么呢？

李明：因為拋物線上的點是表示圖1中的長與矩形面積的對應關系，那么，（12，36）表示當時，的長與矩形面積的對應關系.

趙明：對，我知道縱坐標36是什么意思了！

孔明：哦，這樣就可以算出，這個問題就可以解決了.

    請根據上述對話，幫他們解答這個問題.

圖1                                                                              圖2

Answer 1

（1）當時，  ∴，

又在中，，∴   ∴  ∴   

（2）解法一：若 ，則，，∴，整理得                                      

∴ 當時，.                                

解法二：由，結合圖象可知拋物線經過點（0，0）、（16，0）、（12，36），可設拋物線解析式為，將（12，36）代入求得，∴，整理得，∴ 當時，.       

解法三：由，結合圖象可知拋物線經過點（0，0）、（16，0），知拋物線對稱軸為，∴拋物線頂點的橫坐標為8.∴當時，矩形的面積最大，此時，，∴，∴最大面積為48.