Question

【題目】菱形ABCD的邊長為3，∠BAD＝60°．

（1）連接AC，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥BC交AC于點F，DE、DF于點M、N．

①依題意補全圖1；

②求MN的長；

（2）如圖2，將（1）中∠EDF以點D為中心，順時針旋轉45°，其兩邊DE′、DF′分別與直線AB、BC相交于點Q、P，連接QP，請寫出求△DPQ的面積的思路．（可以不寫出計算結果）

Answer 1

【答案】（1）①答案見解析；②；（2）答案見解析．

【解析】

（1）①根據條件畫出圖形即可；②連接BD，利用菱形的性質得出△ABD為等邊三角形，再利用勾股定理和平行線的性質得出結果即可；（3）由勾股定理和三角形相似的判定及三角形的面積公式求出結果即可.

本題解析：

（1）②證明：連接BD，設BD交AC于O．

∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝AB，∴△ABD為等邊三角形，AC⊥BD于點O，∠DAC＝∠DAB＝30°，∴OD＝AD＝．

在Rt△AOD中，OA＝＝，∴AC＝2OA＝．

∵DE⊥AB，∴E為AB中點，∵AE∥CD，∴，同理：，∴M、N是線段AC的三等分點，∴MN＝AC＝．

（2）解：

a．在Rt△DCF中，先求出DF的長；

b．在Rt△DFP中，求出DP的長；

c．通過證明△DQA≌△DPB，證明△DPQ是等邊三角形；

d．根據DP的長，計算等邊三角形的面積．