Question

【題目】如圖，在矩形中，點是的中點，的平分線交于點，將沿折疊，點恰好落在上點處，延長，交于點．有下列四個結論：①垂直平分；②平分；③；④．其中，將正確結論的序號全部選對的是（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由折疊的性質、矩形的性質與角平分線的性質，可證得CF＝FM＝DF；易求得∠BFE＝∠BFN，則可得BF⊥EN；易證得△BEN是等腰三角形，但無法判定是等邊三角形；故正確的結論有3個．

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，

由折疊的性質可得：∠EMF＝∠D＝90°，

即FM⊥BE，CF⊥BC，

∵BF平分∠EBC，

∴CF＝MF，

∴DF＝CF，在△DEF與△CFN中，

∴△DFE≌△CFN，

∴EF＝FN，

∵∠BFM＝90°∠EBF，∠BFC＝90°∠CBF，

∴∠BFM＝∠BFC，

∴BF平分∠MFC；故②正確；

∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，

∴∠BFE＝∠BFN，

∵∠BFE＋∠BFN＝180°，

∴∠BFE＝90°，

即BF⊥EN，

∴BF垂直平分EN，故①正確；

∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°，

∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°，

∴∠EFM＝∠EBF，

∵∠DFE＝∠EFM，

∴∠DFE＝∠FBE，

∴△DEF∽△FEB；故③正確；

∵△DFE≌△CFN，∴BE＝BN，

∴△EBN是等腰三角形，

∴∠N不一定等于60°，

故④錯誤．

故答案選：A．