Question

【題目】對稱軸為直線x=﹣1的拋物線y=x2+bx+c，與x軸相交于A，B兩點，其中點A的坐標為（﹣3，0）．
（1）求點B的坐標．
（2）點C是拋物線與y軸的交點，點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點A（﹣3，0）與點B關于直線x=﹣1對稱，

∴點B的坐標為（1，0）．

（2）解：∵a=1，∴y=x2+bx+c．

∵拋物線過點（﹣3，0），且對稱軸為直線x=﹣1，

∴

∴解得： ，

∴y=x2+2x﹣3，

且點C的坐標為（0，﹣3）．

設直線AC的解析式為y=mx+n，

則 ，

解得： ，

∴y=﹣x﹣3

如圖，設點Q的坐標為（x．y），﹣3≤x≤0．

則有QD=﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+ ）2+

∵﹣3≤﹣ ≤0，∴當x=﹣ 時，QD有最大值 ．

∴線段QD長度的最大值為 ．

【解析】（1）利用二次函數對稱性即可得出B點坐標；（2）首先利用待定系數法求二次函數解析式，進而求出直線AC的解析式，再利用QD=﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）進而求出最值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解確定一次函數的表達式的相關知識，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法，以及對二次函數的最值的理解，了解如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．