Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，過點A（﹣，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點，且B、C兩點的縱坐標分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根

（1）試問：直線AC與直線AB是否垂直？請說明理由；

（2）若點D在直線AC上，且DB=DC，求點D的坐標；

（3）在（2）的條件下，直線BD上是否存在點P，使以A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、垂直；理由見解析；(2)、（﹣2，1）；(3)、（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）.

【解析】

試題分析：(1)、根據點A、B、C的坐標得出OA、OB和OC的長度，根據線段的比值以及∠AOC=∠BOA=90°得出△AOC和△BOA相似，然后得出∠BAC=90°，即垂直；(2)、首先根據待定系數法求出直線AC的解析式，根據中垂線的性質得出點D的縱坐標，然后求出橫坐標；(3)、根據等腰三角形的性質進行分類討論，求出點P的坐標.

試題解析：(1)、∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1）， ∴OA=，OB=3，OC=1， ∴OA2=OBOC，

∵∠AOC=∠BOA=90°， ∴△AOC∽△BOA， ∴∠CAO=∠ABO， ∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAC=90°， ∴AC⊥AB；

(2)、設直線AC的解析式為y=kx+b， 把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，

∴， 解得：， ∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣1，

∵DB=DC， ∴點D在線段BC的垂直平分線上， ∴D的縱坐標為1， ∴把y=1代入y=﹣x﹣1，

∴x=﹣2， ∴D的坐標為（﹣2，1），

（3）點P的坐標為（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．