Question

某公司經銷某品牌服裝，年銷售量為10萬套，每套服裝按250元銷售，可獲利25%．
（1）求每套服裝的成本價；
（2）每套服裝的售價與成本不變，為了擴大銷售量，公司決定拿出一定的資金做廣告，根據市場調查，若每年投入的廣告費為x（萬元）時，產品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y與x之間的函數關系式為y=-0.01x²+0.182x+0.68．
①求年利潤S（萬元）與廣告費x（萬元）之間的函數關系式；（注：年利潤=年銷售總額-成本費-廣告費）
②當投入的廣告費為多少萬元時，公司獲得的年利潤最多，最多是多少萬元；
③投入的廣告費在什么范圍內，公司獲得的年利潤比不投入廣告費時要多，最多可多出多少萬元？

Answer 1

分析：（1）根據成本加上利潤等于銷售價，可以求出每套服裝的成本價；
（2）①根據年利潤等于年銷售總額減去成本減去廣告費，可以得到S關于x的函數；
②利用配方法求出最大值即可；
③根據公司獲得的年利潤比不投入廣告費時要多，列出不等式，求解即可．

解答：解：（1）設每套服裝的成本價為a元．
由題意，有（1+25%）a=250，
解得a=200．
故每套服裝的成本價為200元；

（2）①S=（250-200）•10y-x
=500（-0.01x²+0.182x+0.68）-x
=-5x²+90x+340；
②∵S=-5x²+90x+340=-5（x-9）²+745，
∴當投入的廣告費x=9萬元時，公司獲得的年利潤S最多，最多是745萬元；
③公司投入的廣告費為x萬元時，獲得的年利潤S=-5x²+90x+340，而不投入廣告費時，獲得的年利潤=（250-200）×10=500，
由公司獲得的年利潤比不投入廣告費時要多，得-5x²+90x+340＞500，
整理，得x²-18x+32＜0，
（x-2）（x-16）＜0，
解得2＜x＜16．
由②知，x=9萬元時，公司獲得的年利潤S最多，最多可多出745-500=245萬元．
故投入的廣告費2＜x＜16時，公司獲得的年利潤比不投入廣告費時要多，最多可多出245萬元．

點評：本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，根據利潤=（售價-成本）×銷售量，列出函數關系式，求出最值，運用二次函數解決實際問題，難度中等．