Question

【題目】如圖1，直線AB過(guò)點(diǎn)A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）．

（1）m為何值時(shí)，△OAB面積最大？最大值是多少？
（2）如圖2，在（1）的條件下，函數(shù) 的圖象與直線AB相交于C、D兩點(diǎn)，若 ，求k的值．
（3）在（2）的條件下，將△OCD以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸的正方向平移，如圖3，設(shè)它與△OAB的重疊部分面積為S，請(qǐng)求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式（0＜t＜10）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（m，0），B（0，n），

∴OA=m，OB=n．

∴S△AOB= ．

∵m+n=20，

∴n=20﹣m，

∴S△AOB= =- m2+10m=﹣ （m﹣10）2+50

∵a=﹣ ＜0，

∴拋物線的開(kāi)口向下，

∴m=10時(shí)，S最大=50

（2）

解：∵m=10，m+n=20，

∴n=10，

∴A（10，0），B（0，10），

設(shè)AB的解析式為y=kx+b，由圖象，得

，

解得： ，

y=﹣x+10．

∵ ，

∴設(shè)S△OCD=8a．則S△OAC=a，

∴S△OBD=S△OAC=a，

∴S△AOB=10a，

∴10a=50，

∴a=5，

∴S△OAC=5，

∴ OAy=5，

∴y=1．

1=﹣x+10，

x=9

∴C（9，1），

∴1= ，

∴k=9；

（3）

解：移動(dòng)后重合的部分的面積是△O′C′D′，t秒后點(diǎn)O的坐標(biāo)為O′（t，0），

O′A=10﹣t，O′E=10．

∵C′D′∥CD，

∴△O′C′D′∽△O′CD，

∴ ，

∴

S=40 ，

∴ （0＜t＜10）．

【解析】（1）由A（m，0），B（0，n），可以表示出OA=m，OB=n，由三角形的面積公式就可以求出結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論可以求出點(diǎn)A點(diǎn)B的坐標(biāo)，就可以求出直線AB的解析式，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性就可以求出S△OBD=S△OAC的值，再由三角形的面積公式就可以求出其值；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可以求得△O′C′D′∽△O′CD，再由相似三角形的性質(zhì)就可以求出就可以求出S△O′C′D′和S△O′CD的面積關(guān)系，從而可以求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形．有兩條對(duì)稱(chēng)軸：直線y=x和 y=-x．對(duì)稱(chēng)中心是：原點(diǎn)；性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．