Question

如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，2），點B的坐標為（3，1），二次函數y=x²的圖象記為拋物線l₁．
（1）平移拋物線l₁，使平移后的拋物線過點A，但不過點B，寫出平移后的一個拋物線的函數表達式：

 

（任寫一個即可）；
（2）平移拋物線l₁，使平移后的拋物線過A，B兩點，記為拋物線l₂，如圖2，求拋物線l₂的函數表達式；
（3）設拋物線l₂的頂點為C，K為y軸上一點．若S_△ABK=S_△ABC，求點K的坐標；
（4）請在圖3上用尺規作圖的方式探究拋物線l₂上是否存在點P，使△ABP為等腰三角形．若存在，請判斷點P共有幾個可能的位置（保留作圖痕跡）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題答案不唯一，符合條件均可．
（2）可設出平移后的二次函數的解析式，然后將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得l₂的函數表達式．
（3）本題可通過求三角形的面積來求K的坐標．由于三角形ABC的面積無法直接求出，因此可其轉換成其他規則圖形面積的和差來解．分別過A、B、C三點作x軸的垂線，因此△ABC的面積可用三個直角梯形的面積差來求出．可先根據直線AB求出其與y軸的交點G的坐標，設出K點坐標后即可表示出KG的長，然后可根據△KBG和△KAG的面積差表示出△KAB的面積，然后根據得出的△ABC的面積即可求出K的坐標．
（4）應有三點：①以A為圓心，AB為半徑作弧可交拋物線l₂于一點；②以B為圓心，AB為半徑坐標交拋物線于另一點；③作線段AB的垂直平分線可交拋物線于兩點，因此共有4個符合條件的P點．

解答：解：（1）有多種答案，符合條件即可．
例如y=x²+1，y=x²+x，y=（x-1）²+2或y=x²-2x+3，
y=（x+

2

-1）²，y=（x-1-

2

）²．

（2）設拋物線l₂的函數表達式為y=x²+bx+c，
∵點A（1，2），B（3，1）在拋物線l₂上，
∴

1+b+c=2 9+3b+c=1

，
解得

b=- 9 2 c= 11 2

，
∴拋物線l₂的函數表達式為y=x²-

9

2

x+

11

2

．

（3）y=x²-

9

2

x+

11

2

=（x-

9

4

）²+

7

16

，
∴C點的坐標為（

9

4

，

7

16

）．
過A，B，C三點分別作x軸的垂線，垂足分別為D，E，F，
則AD=2，CF=

7

16

，BE=1，DE=2，DF=

5

4

，EF=

3

4

．
∴S_△ABC=S_梯形ADEB-S_梯形ADFC-S_梯形CFEB=

1

2

（2+1）×2-

1

2

（2+

7

16

）×

5

4

-

1

2

（1+

7

16

）×

3

4

=

15

16

．
延長BA交y軸于點G，設直線AB的函數表達式為y=mx+n，
∵點A（1，2），B（3，1）在直線AB上，
∴

2=m+n 1=3m+n

，
解得

m=- 1 2 n= 5 2

，
∴直線AB的函數表達式為y=-

1

2

x+

5

2

．
∴G點的坐標為（0，

5

2

）．
設K點坐標為（0，h），分兩種情況：
若K點位于G點的上方，則KG=h-

5

2

．
連接AK，BK．
S_△ABK=S_△BKG-S_△AKG=

1

2

×3×（h-

5

2

）-

1

2

×1×（h-

5

2

）=h-

5

2

．
∵S_△ABK=S_△ABC=

15

16

，
∴h-

5

2

=

15

16

，
解得h=

55

16

．
∴K點的坐標為（0，

55

16

）．
若K點位于G點的下方，則KG=

5

2

-h．
同理可得，h=

25

16

．
∴K點的坐標為（0，

25

16

）．

（4）作圖痕跡如圖所示．
①以A為圓心，AB為半徑作弧可交拋物線l₂于一點；②以B為圓心，AB為半徑坐標交拋物線于另一點；③作線段AB的垂直平分線可交拋物線于兩點，因此共有4個符合條件的P點．

點評：本題考查了二次函數圖象的平移、二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、等腰三角形的構成情況等知識．綜合性強，難度較大．不規則圖形的面積通常轉化為規則圖形的面積的和差進行求解．