Question

【題目】如圖，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，點M，N分別在射線OA，OB上（都不與點O重合），且∠MPN與∠AOB互補．若∠MPN繞著點P轉(zhuǎn)動，那么以下四個結(jié)論：①PM＝PN恒成立；②MN的長不變；③OM+ON的值不變；④四邊形PMON的面積不變．其中正確的為_____．（填番號）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要證明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判斷．

如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO＝∠PFO＝90°，

∴∠EPF+∠AOB＝180°，

∵∠MPN+∠AOB＝180°，

∴∠EPF＝∠MPN，

∴∠EPM＝∠FPN，

∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∴PE＝PF，

在Rt△POE和Rt△POF中，

,

∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），

∴OE＝OF，

在△PEM和△PFN中，

,

∴△PEM≌△PFN（ASA），

∴EM＝NF，PM＝PN，故①正確，

∴S△PEM＝S△PNF，

∴S四邊形PMON＝S四邊形PEOF＝定值，故④正確，

∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故③正確，

∵M，N的位置變化，

∴MN的長度是變化的，故②錯誤，

故答案為：①③④．